Saccherin nelikulmio

Saccherin nelikulmio. Sivut AC ja BD ovat yhtäpitkät.

Saccherin nelikulmio on sellainen nelikulmio, jossa on kaksi suoraa kulmaa ja kaksi keskenään yhtäpitkää sivua. Mielenkiintoisia tuloksia saadaan tarkastelemalla kahden jäljelle jäävän kulman suuruutta.

Historia

Saccherin nelikulmio on nimetty italialaisen jesuiittamatemaatikon Girolamo Saccherin (1667-1733) mukaan. Hän käytti nelikulmiota yrittäessään epäsuorasti todistaa Eukleideen paralleelipostulaattia. Saccheri tarkasteli tapauksia, joissa jäljelle jäävät kulmat oletetaan joko tylpiksi tai teräviksi. Tylppien kulmien tarkastelu johti selvästi ristiriitaan, mutta terävien kulmien tapaus jäi epäselväksi. Saccheri kuitenkin väitti päätyneensä tässäkin tapauksessa ristiriitaan, mikä olisi todistanut kulmien voivan olla ainoastaan suoria. Itse asiassa Saccheri ei onnistunut osoittamaan paralleelipostulaatin välttämättömyyttä, vaan loi pohjan myöhemmälle epäeuklidiselle geometrialle.

Saccherin nelikulmio absoluuttisessa geometriassa

Tarkastellaan ensin Saccherin nelikulmiota absoluuttisessa geometriassa, eli tilanteessa, jossa suorien yhdensuuntaisuudesta ei tehdä mitään oletusta. Tällöin jäljelle jäävät kulmat ovat yhtäsuuret.

Todistus

Olkoon nelikulmio $ABCD$ Saccherin nelikulmio, kuten kuvassa. Olkoot kulmat $\angle BAC$ ja $\angle ABD$ suoria, ja olkoot $AC=BD$.

Piirretään halkaisijat $AD$ ja $BC$.

Tällöin muodostuu kaksi yhtenevää kolmiota: $\triangle ABD$ ja $\triangle BAC.$

Näin ollen halkaisijat $AD$ ja $BC$ ovat keskenään yhtäpitkät.

Nyt kolmioilla $\triangle BCD$ ja $\triangle ADC$ on kolme yhtäpitkää sivua, joten ne ovat yhtenevät.

Siis kulmat $\angle BDC$ ja $\angle ACD$ ovat yhtäsuuret.

Saccherin nelikulmio euklidisessa geometriassa

Tarkastellaan nyt luonnollista, euklidista tapausta, eli kun paralleelipostulaatti on voimassa. Tällöin päädytään intuitiivisesti selvään tulokseen eli, että Saccherin nelikulmion kaikki kulmat ovat suoria.

Todistus

Lähdetään liikkeelle samanlaisesta Saccherin nelikulmiosta kuin absoluuttisen geometrian tapauksessa.

Merkitään suoraa kulmaa lyhyesti symbolilla $R.$

Nyt koska $\angle BAC+\angle ABD=R+R=2R,$ niin suorat $AC$ ja $BD$ ovat yhdensuuntaiset, toisin sanoen ne eivät leikkaa toisiaan.

Tällöin $\angle BAC+\angle ACD=2R.$

Siis $\angle ACD=R.$

Samalla tavalla todistetaan, että $\angle BDC=R.$

Katso myös

• Euklidinen geometria
• Epäeuklidinen geometria

Lähteet

• Greenberg, M.J.: Euclidean and Non-Euclidean Geometries. W. H. Freeman and Company, 1974. ISBN 0-7167-0454-4.
• Paralleelipostulaatti Petteri Harjulehto, Matematiikkalehti Solmu.
• Euclid's Elements Clark University.
• Matematiikan historia Matti Lehtinen, Matematiikkalehti Solmu.