Routhin lause

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Routh'in teoreema antaa ceviaanien sisälle sulkeman kolmion pinta-alan suhteessa referenssikolmioon.

Routhin lause antaa geometriaassa kolmen ceviaanin sisällensä rajoittaman kolmion pinta-alan. Sen esitti ja todisti ensimmäisenä Edward John Routh (1831 – 1907) vuonna 1891.[1][2][3]

Teoreeman sisältö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolmion kärjestä vastakkaiselle sivulle piirretyt janoja kutsutaan joskus ceviaaneiksi. Ceviaanin kantapiste, joka on sen päätepiste vastaisella sivulla, jakaa vastaisen sivun osiin . Jos jakosuhde ilmaistaan kahtena reaalilukuna, joista toinen kirjoitetaan oikeanpuoleisen monikertana ja sitten supistetaan , voidaan jako ilmaista kertoimen ja ykkösen avulla. Jos kerroin on aina ceviaanien erottaman kolmion puolella, voidan kaikkien sivujen jaot ilmaista , ja , ja tämän kolmion ala laskea

missä on referenssikolmion pinta-ala.[1]

Eräitä erityistapauksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos kantapisteet jakavat kaikki sivut samalla tavalla eli , lasketaan sisään jäävän kolmion alaksi

[1]

Kun ovat kokonaislukuja, saadaan :n kertoimiksi

Kun ceviaanit jakavat kolmion sivut suhteessa 1 : 1 (), muodostavat ne keskijanojen leikkauspisteen eli painopisteen, jonka "pinta-ala" on nolla. Kun ceviaanit jakavat sivut 2 : 1 (), muodostuvan kolmion pinta-alan A suhde referenssikolmion pinta-alaan on 1 : 7 eli

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Weisstein, Eric W.: Routh's Theorem (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. J J O'Connor and E F Robertson: Edward John Routh, University of St Andrews, Skotlanti
  3. E. J. Routh: A Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples. Vol. I, 2nd ed. (Cambridge: at the University Press, 1909) (1st ed. 1891).