Osamäärän derivoimissääntö

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Osamäärän derivoimissääntö on matemaattinen kaava, jonka avulla voidaan laskea derivaatta funktiolle, joka on esitettävissä kahden helpommin derivoitavan funktion osamääränä.

Lauseen muotoilu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon funktio esitettävissä funktioiden ja osamääränä . Olkoot lisäksi funktiot ja derivoituvia pisteessä ja . Tällöin .

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Derivaatan määritelmän mukaan

Sijoitetaan funktion tilalle osamäärä

Lavennetaan osamäärät samannimisiksi

Siirretään yhteinen nimittäjä koko osamäärän nimittäjään

Lisätään ja vähennetään termi

Otetaan ja yhteisiksi tekijöiksi

Supistetaan termillä

Siirretään raja-arvo termeihin erikseen (sillä summan raja-arvo on raja-arvojen summa, samoin osamäärän raja-arvo on raja-arvojen osamäärä)

Havaitaan, että näin syntyneet raja-arvot ovat funktioiden ja erotusosamäärien raja-arvoja, eli derivaattoja

.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkki 1[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritä funktion , derivaatta pisteessä .

Funktio  voidaan selvästi esittää kahden funktion, ja osamääränä. Molemmat funktiot ovat derivoituvia pisteessä ja funktiolla ei ole nollakohtia. Käytetään siis osamäärän derivoimissääntöä.

Lasketaan ensin funktioiden ja derivaattafunktiot: , . Osamäärän derivoimissäännön mukaan seuraava pätee:

Sijoittamalla derivaatat lausekkeeseen saadaan

Esimerkki 2[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritä funktion derivaatta pisteessä .

Emme voi käyttää osamäärän derivoimissääntöä, sillä ei ole derivoituva pisteessä , mutta saamme sievennettyä lausekkeen muotoon , jonka derivaatta jokaisessa pisteessä on nolla.

Tämä esimerkki osoittaa, että vaikka osamäärän derivoimissääntö onkin kätevä, se ei aina ole paras tapa derivoida funktiota joka voidaan esittää kahden funktion osamääränä.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I.1 Syksy 1999. Viitattu 3.10.2011. (suomeksi)