Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.
Newtonin summia voidaan käyttää polynomiyhtälön juurten potenssien summien laskemiseen.
Olkoon P(x) n -asteen polynomi
P
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
{\displaystyle \displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}
Olkoon yhtälön
P
(
x
)
=
0
{\displaystyle P(x)=0}
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
S
1
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
{\displaystyle \displaystyle S_{1}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}
S
2
=
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
+
x
n
2
{\displaystyle \displaystyle S_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}
⋮
{\displaystyle \vdots }
S
k
=
x
1
k
+
x
2
k
+
⋯
+
x
n
k
{\displaystyle \displaystyle S_{k}=x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{n}^{k}}
⋮
{\displaystyle \vdots }
Newtonin summien mukaan,
a
n
S
1
+
a
n
−
1
=
0
{\displaystyle \displaystyle a_{n}S_{1}+a_{n-1}=0}
a
n
S
2
+
a
n
−
1
S
1
+
2
a
n
−
2
=
0
{\displaystyle \displaystyle a_{n}S_{2}+a_{n-1}S_{1}+2a_{n-2}=0}
a
n
S
3
+
a
n
−
1
S
2
+
a
n
−
2
S
1
+
3
a
n
−
3
=
0
{\displaystyle \displaystyle a_{n}S_{3}+a_{n-1}S_{2}+a_{n-2}S_{1}+3a_{n-3}=0}
⋮
{\displaystyle \vdots }
AOPS-wikin artikkeli
