Eksakti differentiaali

Eksakti differentiaali tarkoittaa yleistä differentiaalimuotoa $P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!$, jolle löytyy jokin funktio f siten että:

$df=P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!$.

Toisin sanoen $P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!$ on siis eksakti, mikäli ja vain mikäli ${\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}$.

Differentiaali $dg=L(x)dx\,\!$ on aina eksakti.

---

Tämä on seurausta, koska differentiaalille df on voimassa

$df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy$

on ${\frac {\partial f}{\partial x}}=P(x,y)$ ja ${\frac {\partial f}{\partial y}}=Q(x,y)\,\!$.

Koska ${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)$, on oltava ${\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}$.

Tämä on sekä välttämätön että riittävä ehto eksaktille differentiaalille. Tämän voi osoittaa määrittelemällä mahdollinen funktio f integraalina ja sitten todistamalla, että sen määritelmä on yksiselitteinen.

Eksaktit differentiaalit ja differentiaaliyhtälöt

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {P(x,y)}{Q(x,y)}}$ voidaan kirjoittaa muodossa $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\,\!$. Jos $P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!$ on eksakti, eli on funktio f, jolle $df=P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!$, on tällöin $df=0\,\!$ ja ratkaisu siten $f(x,y)=\lambda \,\!$, missä $\lambda \,\!$ on vakio.

Integrointitekijät

Funktiota $\mu (x,y)\,\!$ kutsutaan integrointitekijäksi, mikäli se tekee epäeksaktista differentiaalimuodosta $P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!$ eksaktin, eli

$\mu (x,y)P(x,y)dx+\mu (x,y)Q(x,y)dy\,\!$

on eksakti. Tällöin on oltava

${\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu P\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left(\mu Q\right)\,\!$

josta

$\mu \left({\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)+P{\frac {\partial \mu }{\partial y}}-Q{\frac {\partial \mu }{\partial x}}=0\,\!$

Tämä on yleensä erittäin vaikea ratkaista. Erikoistapauksessa $\mu \equiv \mu (x)\,\!$ saamme

${\frac {1}{\mu }}{\frac {d\mu }{dx}}=\left({\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}\right){\frac {1}{Q}}\,\!$

joka on koherentti, mikäli oikea puoli on pelkästään x:n funktio. Samoin integrointitekijälle $\mu (y)\,\!$

${\frac {1}{\mu }}{\frac {d\mu }{dy}}=-\left({\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}\right){\frac {1}{P}}\,\!$

jos oikea puoli on vain y:n funktio.

Katso myös

• Maxwellin relaatiot

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).