Hardyn–Littlewoodin maksimaalifunktio

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Hardyn–Littlewoodin maksimaalifunktio eli Hardyn–Littlewoodin maksimaalioperaattori avaruudessa on lokaalisti Lebesgue-integroituville funktioille määritelty operaattori

:


,


missä on -keskisen -säteisen pallon Lebesguen mitta.


Funktio on alaspäin puolijatkuva ja sublineaarinen, eli kaikilla lokaalisti integroituvilla funktioilla f ja g ja skalaareilla a ja b.

Ensimmäisen yksiulotteisen maksimaalifunktion kehitti intohimoisena kriketinpelaajana tunnettu matemaatikko G.H. Hardy kollegansa J.E. Littlewoodin kanssa 1900-luvun ensimmäisellä puoliskolla (ks. Hardy ja Littlewood 1930, ja Young 1981). Tämä mietiskeli pelin pisteiden laskua ja totesi kuinka yhdessä pelissä epäonnistuminen tasoittuu aiempien taikka tulevien pelien hyvillä tuloksilla, ja etenkin, mikäli jokin edeltävä peli on ollut todellinen menestys, voisi se keskiarvoja laskeskelemalla vaikuttaa tulevien pelien tuomaan tason notkahdukseen lohduttavasti vielä pitkänkin ajan päästä. Tutkiakseen suurimpien arvojen vaikutusta keskiarvoihin, Hardy ja Littlewood kehittivät reaalisuoralle etäisyydellä painotetun ”suurimman keskiarvon” funktion: maksimaalifunktion, joka kuvaa funktioita niiden suurimpien ”massakeskittymien” avulla.

Maksimaalilause

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Eräs keskeisimpiä maksimaalifunktiota koskevia tuloksia on Maksimaalilause.

Maksimaalilause

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon .

(a) Jos , niin funktio on äärellistä melkein kaikkialla.

(b) Jos , niin jokaiselle

, missä on vain dimensiosta riippuva vakio (esimerkiksi kelpaa).

(c) Jos , niin ja

, missä riippuu vain luvusta ja dimensiosta .

Maksimaalilauseen seurauksia

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Maksimaalilauseen seurauksena saadaan (ks. esimerkiksi Stein 1970) muun muassa Lebesguen differentioituvuuslause.


  • G.H. Hardy ja J.E. Littlewood, A Maximal Theorem with Function-Theoretic Applications. Acta Math. 54 (1930), 81-116
  • Elias M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton University Press, 1970
  • Laurence Chisholm Young, Mathematicians And Their Times. North-Holland Mathematics Studies 48, 1981