Gödelin epätäydellisyyslause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Gödelin epätäydellisyyslauseet ovat Kurt Gödelin vuonna 1931 todistamat kaksi lausetta. Epätäydellisyyslauseen mukaan lukuteorian sisältävä aksiomaattinen järjestelmä on epätäydellinen sillä aina on tosia lauseita, joita ei voi todistaa järjestelmän sisäisillä menetelmillä[1].

Nämä lauseet tulkitaan usein osoitukseksi siitä, että vastaus Hilbertin toiseen ongelmaan on kielteinen: ei ole olemassa "matematiikan perustaa", täydellistä ja konsistenttia aksiomaattista järjestelmää, joka yksin kattaisi kaiken matematiikan.

Ensimmäinen epätäydellisyyslause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Gödelin ensimmäinen epätäydellisyyslause sanoo, että mikään ristiriidaton aksioomajärjestelmä T, jonka kaikki todet lauseet voidaan luetella jollakin "tehokkaalla menetelmällä" (olennaisesti: "tietokoneohjelmalla"), ei pysty todistamaan kaikkia tosiasioita luonnollisista luvuista. Siis osa järjestelmän tosista lauseista ei ole todistettavissa järjestelmän sisältä, vaan siihen vaaditaan jotain toista järjestelmää.

Eräs tällainen tosi mutta ei-todistettava lause on Gödelin lause ("G"), joka sanoo: "Lause G ei ole todistettavissa teoriassa T." Sitä lausetta ei siis voi todistaa teoriassa T, mutta on kyllä mahdollista laajentaa T toiseksi teoriaksi T', joka sisältää kaikki järjestelmän T lauseet ja enemmänkin (esimerkiksi lauseen G) ja jossa lause G on todistettava. Ensimmäisen epätäydellisyyslauseen perusteella myös järjestelmässä T' on lauseita, joita siinä itsessään ei voi todistaa (mm. sen oma Gödelin lause).

Toinen epätäydellisyyslause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Gödelin toinen epätäydellisyyslause osoittaa, että jos jokin ristiriidaton aksioomajärjestelmä pystyy todistamaan tietyt perusasiat luonnollisista luvuista, se ei pysty todistamaan kyseisen aksioomajärjestelmän täydellisyyttä.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Lehtinen, Matti ym. Johdatus tasogeometriaan. s. 13.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Raatikainen, Panu: Gödel's Incompleteness Theorem The Stanford Encyclopedia of Philosophy. The Metaphysics Research Lab. Stanford University. (englanniksi)
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.