Eulerin identiteetti

Eulerin identiteettiä havainnollistava kuva. Lukua $e^{i\pi }$ vastaa kehän piste $(-1,0)$, sillä $e^{i\varphi },0\leq \varphi <2\pi$ on yksikköympyrän parametrisointi kompleksitasossa.

Eksponenttifunktio $e^{z}$ funktion $(1+z/N)^{N}$ raja-arvona, kun $N$ lähestyy ääretöntä. Animaatiossa $N$ saa arvoja välillä 1 − 100. Kun $N$ suurenee, $(1+i\pi /N)^{N}$ lähestyy arvoa −1.

Eulerin identiteetti on kompleksianalyysissä Eulerin lauseella saatu yhtälö

$e^{i\pi }+1=0\,\!,$

jossa

$e\,\!$ on Neperin luku,

$i\,\!$ on imaginaariyksikkö ja

$\pi \,\!$ on pii.

Eulerin identiteettiä on kutsuttu matematiikan kauneimmaksi kaavaksi, koska se sitoo toisiinsa useat nykymatematiikan tärkeät luvut: Neperin luvun, piin, imaginaariyksikön ja perusluvut 1:n ja 0:n. Yhtälössä esiintyvät myös matematiikan kolme tärkeää laskutoimitusta: yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korottaminen. Se yhdistää matemaattisen analyysin, geometrian ja kompleksiluvut. Kaavassa on myös yhtälöissä esiintyvä tapa kirjoittaa yhtäläisyysmerkin oikealle puolelle nolla.

Määrittäminen

Eulerin lause on seuraavanlainen:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x.\,\!$

Lause on pätevä kaikille reaaliluvuille x. Kulma x on radiaaneina.

Jos nyt asetetaan

$x=\pi \,\!$,

niin

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!$

Koska

$\cos \pi =-1\,\!$

ja

$\sin \pi =0,\,\!$

seuraa, että

$e^{i\pi }=-1,\,\!$

josta saadaan Eulerin identiteetti

$e^{i\pi }+1=0.\,\!$

Q.E.D.

Aiheesta muualla

• Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 618–653. "Luku 21, Eulerin aika". Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6.