Eulerin identiteetti

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Eulerin identiteettiä havainnollistava kuva. Lukua vastaa kehän piste , sillä on yksikköympyrän parametrisointi kompleksitasossa.
Eksponenttifunktio funktion raja-arvona, kun lähestyy ääretöntä. Animaatiossa saa arvoja välillä 1 − 100. Kun suurenee, lähestyy arvoa −1.

Eulerin identiteetti on kompleksianalyysissä Eulerin lauseella saatu yhtälö

jossa

on Neperin luku,
on imaginaariyksikkö ja
on pii.

Eulerin identiteettiä on kutsuttu matematiikan kauneimmaksi kaavaksi,[1]koska se sitoo toisiinsa useat nykymatematiikan tärkeät luvut: Neperin luvun, piin, imaginaariyksikön ja perusluvut 1:n ja 0:n. Yhtälössä esiintyvät myös matematiikan kolme tärkeää laskutoimitusta: yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korottaminen. Se yhdistää matemaattisen analyysin, geometrian ja kompleksiluvut. Kaavassa on myös yhtälöissä esiintyvä tapa kirjoittaa yhtäläisyysmerkin oikealle puolelle nolla.

Määrittäminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Eulerin lause on seuraavanlainen:

Lause on pätevä kaikille reaaliluvuille x. Kulma x on radiaaneina.

Jos nyt asetetaan

,

niin


Koska

ja

seuraa, että

josta saadaan Eulerin identiteetti

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Mathematics: Why the brain sees maths as beauty 13 February 2014. BBC. Viitattu 24.3.2014.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.