Dedekindin leikkaus

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Dedekindin leikkaus on matematiikassa sellainen kokonaan järjestetyn joukon jako kahteen epätyhjään joukkoon A ja B, että A:n jokainen alkio on pienempi kuin B:n jokainen alkio eikä joukossa A ole suurinta alkiota. Dedekindin leikkaus on saanut nimensä saksalaisen matemaatikon Richard Dedekindin mukaan, joka konstruoi reaaliluvut rationaalilukujen leikkauksien avulla.

Rationaalilukujen joukossa Dedekindin leikkauksia on sikäli kahdenlaisia, että joukolla B saattaa olla pienin alkio, mutta ei välttämättä ole. Esimerkiksi jos muodostetaan Dedekindin leikkaus, jossa

 A = \{a \in \mathbb{Q} | a < 2 \} ja
 B = \{b \in \mathbb{Q} | b \ge 2 \},

joukolla B on pienin alkio, nimittäin luku 2. Tässä leikkauksessa joukkoon A kuuluvat kaikki rationaaliluvut, jotka ovat pienempiä kuin 2, joukkoon B luku 2 ja kaikki sitä suuremmat rationaaliluvut. Sen sijaan Dedekindin leikkauksessa, jossa

 A = \{a \in \mathbb{Q} | a^2 < 2 \or a < 0 \} ja
 B = \{b \in \mathbb{Q} | b^2 \ge 2 \and b > 0 \}

joukolla B ei ole pienintä alkiota. Reaalilukujen joukko voidaan muodollisesti konstruoida asettamalla jokaista tällaista Dedekindin leikkausta vastaamaan uusi luku, jollaisia sanotaan irrationaaliluvuiksi. Edellä mainitussa esimerkissä tämä luku on  \sqrt{2} .