Darboux’n kehys

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Darboux’n kehys on pintojen differentiaaligeometriassa kolmen vektorin joukko eli kehys. Se on nimetty ranskalaisen matemaatikon Jean Gaston Darboux’n mukaan.

Darboux’n kehys pinnalla sijaitsevalle käyrälle[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon S suunnistuva pinta kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa E3. Darboux’n kehys pinnalla S voidaan määritellä kaikille pinnan S. Tämän jälkeen on mielekästä tarkastella pääsuuntien suuntaisia käyriä.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jokaiseen suunnistuvan pinnan pisteeseen voidaan liittää yksikäsitteinen yksikkövektori u (suunnistuvan pinnan määritelmä). Jos γ kaarenpituuden suhteen parametrisoitu käyrä pinnalla S, Darboux’n kehys käyrälle γ pisteessä γ(s) määritellään asettamalla

   (yksikkötangentti)
   (yksikkönormaali)
   (tangenttinormaali)

Kolmikko T,u,t on ortonormaali kanta, joten se on luonteva kehys käyrän γ näkökulmasta.

Geodeettinen ja normaalikaarevuus sekä suhteellinen torsio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Huomaa, että käyrälle määritelty Darboux’n kehys ei vielä anna luonnollista liikkuvaa kehystä pinnalla, koska se riippuu tangenttivektorin valinnasta. Saadaksemme luonnollisen kehyksen pinnalle, vertaamme käyrän γ Darboux’n kehystä sen Frenet–Serret kehykseen. Olkoon

   (yksikkötangentti, kuten edellä)
   (Frenet-normaalivektori)
   (Frenet-binormaalivektori).

Koska tangenttivektorit ovat kehyksissä samat, on olemassa yksikäsitteinen kulma α siten, että tasojen N ja B kiertäminen tuottaa parit t ja u:

Derivoimalla ja käyttämällä Frenet–Serret-kaavoja saadaan

missä:

  • κg on käyrän geodeettinen kaarevuus,
  • κn on käyrän normaalikaarevuus ja
  • τr on käyrän suhteellinen torsio (ts. geodeettinen torsio).

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Darboux frame
  • Cartan, Élie (1937). La théorie des groupes finis et continus et la géométrie différentielle traitées par la méthode du repère mobile. Gauthier-Villars. 
  • Cartan, É (Appendices by Hermann, R.) (1983). Geometry of Riemannian spaces. Math Sci Press, Massachusetts. 
  • Darboux, Gaston (1887,1889,1896). Leçons sur la théorie génerale des surfaces: Volume I, Volume II, Volume III, Volume IV. Gauthier-Villars. 
  • Guggenheimer, Heinrich (1977). "Chapter 10. Surfaces", Differential Geometry. Dover. ISBN 0-486-63433-7. 
  • Spivak, Michael (1999). A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. ISBN 0-914098-72-1. 
  • Spivak, Michael (1999). A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 4). Publish or Perish. ISBN 0-914098-73-X.