Cesàron yhteenlasku

Cesàron yhteenlasku määrittelee jatkuvien sarjojen yhteenlaskua. Se tunnetaan myös nimellä Cesàron summakaava.

Cesàron yhteenlasku on nimetty italialaisen analyytikon Ernesto Cesàron (1859–1906) mukaan .

Määritelmä

Olkoon {a_n} sarja ja olkoon

$s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}$,

sarjan

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.$ k:s osasumma.

Sarjaa {a_n} kutsutaan Cesàro-summautuvaksi, jos Cesàron summa $A\in \mathbb {R}$, jos sen keskiarvo osasummista $s_{k}$ lähenee $A$:ta:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}=A.$

Toisin sanoen siis äärettömän sarjan Cesàro-summa on sarjan ensimmäisten osasummien 1, ..., n aritmeettisen keskiarvon raja-arvo, kun n lähestyy ääretöntä.

Esimerkkejä

Olkoon a_n = (−1)ⁿ⁺¹, kun n ≥ 1. {a_n} on lukujono

$1,-1,1,-1,\ldots .\,$

Merkitään sarjaa $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=1-1+1-1+1-\cdots$ G:llä.

Näin ollen lukujonon osasumma {s_n} $=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ on

$1,0,1,0,\ldots ,\,$

Nähdään, että sarja G, (joka tunnetaan myös Grandin sarjana), ei suppene.

Toisaalta sarjan {s_n} keskiarvojen muodostaman sarjan {t_n}

Toisaalta sarjan {sn} keskisarjan {t_n} termit

$t_{n}={\sum _{k=1}^{n}s_{k} \over n}$ termejä ovat

${\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots ,$

joten

$\lim _{n\to \infty }t_{n}=1/2.$

Tällöin Cesàron summa sarjalle G on 1/2.

Lähteet

Englanninkielinen Wikipedia