Binetin–Cauchyn identiteetti

Binetin–Cauchyn identiteetti, joka on nimetty Jacques Philippe Marie Binetin ja Augustin-Louis Cauchyn mukaan, on yhtälö algebrassa.

${\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}{\biggr )}={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}{\biggr )}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})$

jossa a_i, b_i, c_i ja d_i, kaikilla i:n arvoilla, ovat reaalilukuja. Sama yhtälö pätee kompleksiluvuilla ja yleisemmin kaikissa kommutatiivisissa renkaissa.

Todistus

Laskemalla auki yhtälön viimeisen termin binomitulo, saamme

$\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})$

$=\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{i}d_{i}-\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_{j}b_{i}c_{i})-\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}$

jossa toinen ja neljäs termi ovat toistensa vastaluvut, jotka on lisätty yhtälöön, jotta se pystytään saattamaan seuraavaan muotoon:

$=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}.$

Tästä i:llä indeksoidut termit osittelemalla saadaan alkuperäisen yhtälön ensimmäiset kaksi termiä, joka päättää todistuksen.

Binetin–Cauchyn identiteetti kolmessa ulottuvuudessa

Kun n = 3, ensimmäinen ja toinen termi vastaavat pistetulojen tuloja, kun taas kolmas termi vastaa ristitulojen pistetuloa. Tämä voidaan merkitä

$(a\cdot c)(b\cdot d)=(a\cdot d)(b\cdot c)+(a\times b)\cdot (c\times d)\,$