Zsigmondyn lause

Lukuteoriassa Karl Zsigmondyn mukaan nimetty Zsigmondyn lause sanoo, että jos a > b > 0 ovat keskenään jaottomia kokonaislukuja, niin kaikilla luonnollisilla luvuilla n > 1 on olemassa alkuluku p (kutsutaan primitiiviseksi alkutekijäksi) joka jakaa luvun aⁿ − bⁿ ja ei jaa lukua a^k − b^k positiivisilla kokonaisluvuilla k < n seuraavin poikkeuksin:

• a = 2, b = 1, ja n = 6; tai

• a + b on kakkosen potenssi ja n = 2.

Tämä yleistää Bangin lausetta, jonka mukaan jos n>1 ja n ei ole kuusi, niin luvulla 2ⁿ-1 on alkutekijä, joka ei jaa mitään lukua 2^k-1 kun k<n.

Samaten luvulla $a^{n}+b^{n}$ on vähintään yksi primitiivinen alkutekijä paitsi silloin, kun $2^{3}+1^{3}=9$

Zsigmondyn lause on usein käyttökelpoinen etenkin ryhmäteoriassa, missä sitä käytetään todistamaan, että eri ryhmillä on erilliset kertaluvut paitsi silloin, kun ryhmät ovat samat.

Lauseen keksi Zsigmondy työskennellessään Wienissä vuodesta 1894 vuoteen 1925.

Katso myös

• Carmichaelin lause

Lähteet

• Zsigmondy, Karl (1892). "Zur Theorie der Potenzreste". Journal Monatshefte für Mathematik 3 (1): 265–284. doi:10.1007/BF01692444. 
• Th. Schmid (1927). "Karl Zsigmondy". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 36: 167–168. 
• Moshe Roitman (1997). "On Zsigmondy Primes". Proceedings of the American Mathematical Society 125 (7): 1913–1919. doi:10.1090/S0002-9939-97-03981-6. 
• Walter Feit (1988). "On Large Zsigmondy Primes". Proceedings of the American Mathematical Society 102 (1): 29–36. American Mathematical Society. doi:10.2307/2046025. 
• (2003) Recurrence sequences, Mathematical Surveys and Monographs 104. Providence, RI: American Mathematical Society, 103–104. ISBN 0-8218-3387-1.