Tasainen jatkuvuus

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Tasainen jatkuvuus on matemaattisen analyysin käsite. Karkeasti ilmaistuna tasainen jatkuvuus tarkoittaa sitä, että pientä muutosta x:ssä vastaa pieni muutos funktion arvossa f(x), ja tämän muutoksen suuruus riippuu vain x:n muutoksen suuruudesta, mutta ei itse pisteestä x.

Funktion jatkuvuus on paikallinen ominaisuus: funktio f on jatkuva (tai epäjatkuva) tietyssä pisteessä. Jos funktion sanotaan olevan jatkuva jollakin välillä, sen tarkoitetaan olevan jatkuva jokaisessa välin pisteessä. Sitä vastoin tasainen jatkuvuus on funktion globaali ominaisuus: se on määritelty joukossa, ei pisteessä. Funktio voi olla jatkuva jokaisessa välin pisteessä olematta kuitenkaan tasaisesti jatkuva tällä välillä.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon D R:n osajoukko, D\subseteq\R.

Kuvaus f:D\rightarrow \R on tasaisesti jatkuva jos ja vain jos

\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0~\forall x_1,x_2\in D:\,|x_1-x_2|<\delta\Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon.

Tärkeää on, että toisin kuin tavallisen jatkuvuuden määrittelyssä δ riippuu ainoastaan ε:sta.

Yleistys metrisiin avaruuksiin[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritelmä yleistyy metrisiin avaruuksiin seuraavasti:

Olkoot (X, dx) ja (Y, dy) metrisiä avaruuksia. Kuvaus f:X\rightarrow Y on tasaisesti jatkuva, jos kaikille reaaliluvuille ε > 0 on olemassa luku δ > 0 siten, että kaikkien joukon X pisteiden x1 ja x2, joiden välinen etäisyys on pienempi kuin δ, kuvapisteiden etäisyys toisistaan on pienempi kuin ε, toisin sanoen

\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0~\forall x_1,x_2\in X:d_x(x_1, x_2)<\delta\Rightarrow d_y(f(x_1), f(x_2))<\varepsilon

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jokainen tasaisesti jatkuva funktio on jatkuva, mutta käänteisesti väite ei päde. Esimerkiksi funktio f(x) = 1/x, jonka lähtöjoukko on positiivisten reaalilukujen joukko, on jatkuva mutta ei tasaisesti jatkuva, sillä kun x lähestyy nollaa, muutokset arvossa f(x) kasvavat rajatta.

Kuitenkin jos funktio on jatkuva jokaisessa kompaktin välin pisteessä, se on tasaisesti jatkuva tällä välillä.