Tšebyšovin epäyhtälö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Todennäköisyyslaskennassa Tšebyšovin epäyhtälön mukaan todennäköisyysavaruudessa lähes kaikki todennäköisyysjakauma jakautuu keskiarvon lähelle. Epäyhtälö on nimetty Pafnuti Tšebyšovin mukaan

Yleinen väittämä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Epäyhtälö esitetään usein mittateorian avulla. Tällöin todennäköisyysteoreettinen väittämä on mittateoreettisen väittämän erikoistapaus.

Mittateoreettinen muotoilu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon (X,Σ,μ) mitta-avaruus ja f laajennettu reaaliarvoinen mitallinen funktio X:ssä. Tällöin kaikilla reaaliluvuilla t > 0,

\mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t^2} \int_X f^2 \, d\mu.

Yleisemmin, jos g on epänegatiivinen reaaliarvoinen mitallinen funktio, joka ei ole vähenevä f:n määrittelyjoukossa, on

\mu(\{x\in X|\,f(x)\geq t\} \leq {1\over g(t)} \int_X g\circ f\, d\mu.

Edellinen väitös seuraa asettamalla

g(t)=\begin{cases}t^2&\mbox{jos }t\geq0\\0&\mbox{muulloin,}\end{cases}

ja valitsemalla f:n asemesta |f|.

Todennäköisyysteoreettinen muotoilu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon X satunnaismuuttuja odotusarvonaan μ ja äärellisenä varianssinaan σ2. Tällöin kaikilla reaaliluvuilla k > 0,

\Pr(\left|X-\mu\right|\geq k\sigma)\leq\frac{1}{k^2}.

Ainoastaan tapaukset k > 1 tarjoavat hyödyllistä tietoa.

Esimerkiksi valitsemalla k=√2 huomataan, että vähintään puolet annetun jakauman arvoista sijaitsevat välillä (μ − √2 σ, μ + √2 σ).

Tšebyševin epäyhtälöä käytetään todistamaan heikko suurten lukujen laki.