Stewartin lause

Stewartin lauseessa esiintyvät janat ja pisteet

Geometriassa Stewartin lause kuuluu seuraavasti: Olkoon ABC kolmio jolle AB=c, AC=b ja BC=a. Olkoon lisäksi X piste kolmion sivulla BC jolle BX=x ja XC=y. Jos p on janan AX pituus, on voimassa

$a(p^2 + xy) = b^2x + c^2y$.

Stewartin lause voidaan todistaa kosinilauseen avulla: Kolmioon AXB sovellettuna saadaan (jos $\alpha$ on kulma AXB)

$c^2 = x^2 + p^2 - 2px \cos \alpha$ eli

$\cos \alpha=\frac{x^2+p^2-c^2}{2px}$

ja kolmioon AXC sovellettuna saadaan (koska cos (180-$\alpha$)=-cos $\alpha$)

$\cos \alpha=\frac{b^2-y^2-p^2}{2py}$.

Siten

$2py(x^2 + p^2 - c^2) = 2px(b^2 - y^2 - p^2)$

Jakamalla lauseke puolittain 2p:llä ja järjestelemällä termejä saadaan

$x^2y + xy^2 + p^2y + p^2x = b^2x + c^2y$

eli

$xy(x+y)+p^2(x+y)=b^2x+c^2y$.

Koska a=x+y, saadaan

a(xy+p²)=b²x+c²y.