Stewartin lause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Stewartin lauseessa esiintyvät janat ja pisteet

Geometriassa Stewartin lause kuuluu seuraavasti: Olkoon ABC kolmio jolle AB=c, AC=b ja BC=a. Olkoon lisäksi X piste kolmion sivulla BC jolle BX=x ja XC=y. Jos p on janan AX pituus, on voimassa

a(p^2 + xy) = b^2x + c^2y.

Stewartin lause voidaan todistaa kosinilauseen avulla: Kolmioon AXB sovellettuna saadaan (jos \alpha on kulma AXB)

c^2 = x^2 + p^2 - 2px \cos \alpha eli
\cos \alpha=\frac{x^2+p^2-c^2}{2px}

ja kolmioon AXC sovellettuna saadaan (koska cos (180-\alpha)=-cos \alpha)

\cos \alpha=\frac{b^2-y^2-p^2}{2py}.

Siten

2py(x^2 + p^2 - c^2) = 2px(b^2 - y^2 - p^2)

Jakamalla lauseke puolittain 2p:llä ja järjestelemällä termejä saadaan

x^2y + xy^2 + p^2y + p^2x = b^2x + c^2y

eli

xy(x+y)+p^2(x+y)=b^2x+c^2y.

Koska a=x+y, saadaan

a(xy+p2)=b2x+c2y. mot.

Apolloniuksen lause on Stewartin lauseen erikoistapaus.