Puu (graafiteoria)

Puu on verkkoteoriassa solmuista ja kaarista koostuva verkko, jossa minkä tahansa kahden solmun välillä on yksikäsitteinen polku. Metsä on verkko, jossa minkä tahansa kahden solmun välillä on korkeintaan yksi polku.

Puun kaaria kutsutaan myös oksiksi. Lehdiksi kutsutaan solmuja, joiden lähtöaste on nolla (eli jotka eivät ole minkään nuolen alkupisteitä).

Määritelmiä

Suuntaamaton verkko $G$ on puu, jos se täyttää minkä tahansa seuraavista yhtäpitävistä ehdoista:

• $G$ on yhtenäinen ja siinä ei ole syklejä.
• $G$ on syklitön ja jos $G$:hen lisätään yksikin kaari, muodostuu sykli.
• $G$ on yhtenäinen ja jos $G$:stä poistetaan kaari, $G$ ei ole enää yhtenäinen.
• Minkä tahansa kahden $G$:n solmun välillä on yksikäsitteinen polku.

Jos verkossa $G$ on äärellisen monta solmua ($n$), seuraavat väittämät ovat yhtäpitäviä edellisten kanssa:

• $G$ on yhtenäinen ja siinä on $n-1$ kaarta.
• $G$ on syklitön ja siinä on $n-1$ kaarta.

Suuntaamaton verkko $G$ on metsä, jos se on syklitön.

Puu on juurellinen, jos yksi puun solmuista on nimetty juurisolmuksi eli juureksi. Tällöin kaarilla on suunta kohti juurta tai poispäin juuresta. Juurelliset puut ovat tärkeitä tietorakenteita algoritmitekniikassa.

Esimerkki

Puu

Viereisen kuvan verkko esittää puuta, jossa on seitsemän solmua ja kuusi kaarta. Yksikäsitteinen polku, joka yhdistää solmut 1 ja 7 on 1–2–4–6–7.

Katso myös

• Punamusta puu
• Binäärinen hakupuu
• Binääripuu
• AVL-puu

Kirjallisuutta

• Ruohonen, Keijo: Graafiteoria. Opintomoniste 136. Tampere: TTKK, 1990. ISBN 951-721-530-4.

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Puu (graafiteoria) Wikimedia Commonsissa