Prothin alkuluku

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Lukuteoriassa Prothin luku on muotoa k\cdot 2^n+1 oleva alkuluku, missä k on pariton, n positiivinen kokonaisluku ja 2^n>k. Fermat'n lukujen tekijät ovat Prothin lukuja mikäli k on pariton ja k<2^n.

Prothin alkuluvut toteuttavat Prothin lauseen, jonka mukaan annettu luku muotoa N=k\cdot 2^n+1, missä k on pariton, n positiivinen kokonaisluku ja 2^n>k on alkuluku jos ja vain jos on olemassa kokonaisluku a, jolle a^{\frac{N-1}{2}}\equiv -1\pmod N. Tämä lause tarjoaa nopean tavan testata lukuja Prothin alkuluvuiksi.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Jos p = 3, 21 + 1 = 3 on jaollinen luvulla 3, joten 3 on alkuluku.
  • Jos p = 5, 32 + 1 = 10 on jaollinen luvulla 5, joten 5 on alkuluku.
  • Jos p = 13, 56 + 1 = 15626 on jaollinen luvulla 13, joten 13 on alkuluku.
  • Jos p = 9 (joka ei ole alkuluku), ei ole olemassa sellaista lukua a, niin että a4 + 1 on jaollinen luvulla 9.

Muutama ensimmäinen Prothin alkuluku (A080076 OEIS:sä):

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153

Suurin tunnettu Prothin alkuluku on Seventeen or Bust -projektin löytämä 19249 · 213018586 + 1. Siinä on 3918990 numeroa ja se on suurin tunnettu alkuluku joka ei ole Mersennen alkuluku.[1]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]