Popoviciun epäyhtälö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Popoviciun epäyhtälö on konveksissa analyysissä konvekseja funktioita koskeva epäyhälö. Se on samantapainen kuin Jensenin epäyhtälö ja sen löysi vuonna 1965 romanialainen matemaatikko Tiberiu Popoviciu. Epäyhtälö kuuluu näin:

Olkoon ƒ funktion väliltä I \subseteq \mathbb{R} joukkoon \mathbb{R}. Jos ƒ on konveksi, niin kaikilla x, y, z\in I on voimassa


\begin{align}
& {} \qquad \frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3} + f\left(\frac{x+y+z}{3}\right) \\[6pt]
& \ge \frac{2}{3}\left[ f\left(\frac{x+y}{2}\right) + f\left(\frac{y+z}{2}\right) + f\left(\frac{z+x}{2}\right) \right].
\end{align}

Epäyhtälö voidaan yleistää n pisteelle:

Olkoon ƒ jatkuva kuvaus joukosta I \subseteq \mathbb{R} joukkoon \mathbb{R}. Tällöin ƒ on konveksi jos ja vain jos kaikilla kokonaisluvuilla n ja k, missä n ≥ 3 ja 2 \leq k \leq n-1, ja kaikilla x_1, \dots, x_n\in I on voimassa


\begin{align}
& {} \qquad \frac{1}{k} \binom{n-2}{k-2} \left( \frac{n-k}{k-1} \sum_{i=1}^{n}f(x_i) + nf\left(\frac1n\sum_{i=1}^{n}x_i\right) \right)\\[6pt]
& \ge \sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le n} f\left( \frac1k \sum_{j=1}^{k} x_{i_j} \right)
\end{align}

Popoviciun epäyhtälö yleistyy myös painotetuksi epäyhtälöksi.