Darboux’n kehys

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Darboux’n kehys on pintojen differentiaaligeometriassa kolmen vektorin joukko eli kehys. Se on nimetty ranskalaisen matemaatikon Jean Gaston Darboux’n mukaan.

Darboux’n kehys pinnalla sijaitsevalle käyrälle[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon S suunnistuva pinta kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa E3. Darboux’n kehys pinnalla S voidaan määritellä kaikille pinnan S. Tämän jälkeen on mielekästä tarkastella pääsuuntien suuntaisia käyriä.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jokaiseen suunnistuvan pinnan pisteeseen voidaan liittää yksikäsitteinen yksikkövektori u (suunnistuvan pinnan määritelmä). Jos γ kaarenpituuden suhteen parametrisoitu käyrä pinnalla S, Darboux’n kehys käyrälle γ pisteessä γ(s) määritellään asettamalla

 \mathbf{T}(s) = \gamma'(s),    (yksikkötangentti)
 \mathbf{u}(s) = \mathbf{u}(\gamma(s)),    (yksikkönormaali)
 \mathbf{t}(s) = \mathbf{u}(s) \times \mathbf{T}(s),    (tangenttinormaali)

Kolmikko T,u,t on ortonormaali kanta, joten se on luonteva kehys käyrän γ näkökulmasta.

Geodeettinen ja normaalikaarevuus sekä suhteellinen torsio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Huomaa, että käyrälle määritelty Darboux’n kehys ei vielä anna luonnollista liikkuvaa kehystä pinnalla, koska se riippuu tangenttivektorin valinnasta. Saadaksemme luonnollisen kehyksen pinnalle, vertaamme käyrän γ Darboux’n kehystä sen Frenet–Serret kehykseen. Olkoon

 \mathbf{T}(s) = \gamma'(s),    (yksikkötangentti, kuten edellä)
 \mathbf{N}(s) = \frac{\mathbf{T}'(s)}{\|\mathbf{T}'(s)\|},    (Frenet-normaalivektori)
 \mathbf{B}(s) = \mathbf{T}(s)\times\mathbf{N}(s),    (Frenet-binormaalivektori).

Koska tangenttivektorit ovat kehyksissä samat, on olemassa yksikäsitteinen kulma α siten, että tasojen N ja B kiertäminen tuottaa parit t ja u:


\begin{bmatrix}
\mathbf{T}\\
\mathbf{t}\\
\mathbf{u}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&\cos\alpha&\sin\alpha\\
0&-\sin\alpha&\cos\alpha
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\mathbf{T}\\
\mathbf{N}\\
\mathbf{B}
\end{bmatrix}.

Derivoimalla ja käyttämällä Frenet–Serret-kaavoja saadaan


d\begin{bmatrix}
\mathbf{T}\\
\mathbf{t}\\
\mathbf{u}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0&\kappa\cos\alpha\, ds&-\kappa\sin\alpha\, ds\\
-\kappa\cos\alpha\, ds&0&\tau \, ds + d\alpha\\
\kappa\sin\alpha\, ds&-\tau \, ds - d\alpha&0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\mathbf{T}\\
\mathbf{t}\\
\mathbf{u}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0&\kappa_g \, ds&\kappa_n \, ds\\
-\kappa_g \, ds&0&\tau_r \, ds\\
-\kappa_n \, ds&-\tau_r \, ds&0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\mathbf{T}\\
\mathbf{t}\\
\mathbf{u}
\end{bmatrix}

missä:

  • κg on käyrän geodeettinen kaarevuus,
  • κn on käyrän normaalikaarevuus ja
  • τr on käyrän suhteellinen torsio (ts. geodeettinen torsio).

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja vieraskielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Darboux frame
  • Cartan, Élie (1937). La théorie des groupes finis et continus et la géométrie différentielle traitées par la méthode du repère mobile. Gauthier-Villars. 
  • Cartan, É (Appendices by Hermann, R.) (1983). Geometry of Riemannian spaces. Math Sci Press, Massachusetts. 
  • Guggenheimer, Heinrich (1977). "Chapter 10. Surfaces", Differential Geometry. Dover. ISBN 0-486-63433-7. 
  • Spivak, Michael (1999). A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. ISBN 0-914098-72-1. 
  • Spivak, Michael (1999). A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 4). Publish or Perish. ISBN 0-914098-73-X.