Couette-virtaus

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Couetten virtauksessa fluidi virtaa kahden levyn välillä, joista alempi pysyy paikallaan ja ylempi liikkuu x-suuntaan nopeudella \scriptstyle \vec{V}. Fluidin nopeutta korkeuden y funktiona kuvaa \scriptstyle u(y). Nuolien pituus kuvastaa nopeutta eri korkeuksilla. Nopeusprofiili on lineaarinen.

Couette-virtaus on yksi yksinkertaisimmista viskoottisen virtauksen malleista. Couette-virtauksessa fluidi virtaa kahden samansuuntaisen äärettömän levyn välissä. Toinen levyistä pysyy paikoillaan ja toinen liikkuu tangenttinsa suuntaisesti.[1] Fluidin liike on kaksiulotteista, sen nopeusvektorilla on vain levyjen tangentin suuntainen komponentti.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Fluidi ei liu'u levyssä, eli paikallaan olevan levyn korkeudella fluidikerroksen nopeus on nolla ja liikkuvan levyn korkeudella oleva fluidikerros liikkuu yhtä suurella nopeudelle kuin levy. Couette-virtauksen nopeusprofiili on lineaarinen,[2] eli fluidin etenemisnopeus on suoraan verrannollinen sen etäisyydestä paikallaan olevaan levyyn.

Navier-Stokes -yhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun Couette-virtausta tarkastellaan kaksiulotteisessa koordinaatistossa, jossa fluidin nopeusvektori etenee x-akselin suuntaan ja y-akseli määrää paikan korkeuden, niin Couette-virtauksen Navier-Stokes -yhtälö on muotoa [2]

 \rho g_x - \frac{\partial p}{\partial x} + \mu(\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u }{\partial x^2}) = \rho (u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}),

missä siis \scriptstyle \rho on tiheys, \scriptstyle g_x putoamiskiihtyvyyden x-komponentti, \scriptstyle u x-suuntainen nopeuskomponentti, \scriptstyle v y-suuntainen nopeuskomponentti ja \scriptstyle \mu viskositeetti. Gravitaatiota ja painetta ei huomioida ja nopeudella on vain x-suuntainen nopeuskomponentti \scriptstyle u, joka riippuu vain korkeudesta y. Siksi yllä oleva yhtälö supistuu muotoon [2]

\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0.

Fluidin nopeus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yllä olevasta saadaan integroimoilla kahdesti fluidin nopeus muotoon [3]

u(y)=C_1\cdot y+C_2,

missä \scriptstyle C_1 ja \scriptstyle C_2 ovat vakioita.

Koordinaattiakselit on valittu niin, että alemmalla levylla y=0 ja u(y)=0 ja ylemmällä levyllä y=h ja u(y)=V (V on liikkuvan levyn nopeus). Tarkastelemalla alempaa liikkumatonta levyä saadaan laskettua arvo toiselle vakiolle sijoittamalla yllä olevaan nopeuden yhtälöön y=0, u=0: \scriptstyle u(0)=0=0+C_2 ~\Rightarrow~ C_2=0. Sitten tarkastellaan ylempää liikkuvaa levyä sijoittamalla nopeuden yhtälöön y=h, u(y)=V : \scriptstyle u(h)=V=C_1\cdot h ~\Rightarrow~ C_1=\frac{V}{h}. Nyt, kun tiedetään vakioiden arvot, saadaan fluidin nopeuden yhtälöksi [3]

u(y)=\frac{V}{h}y.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Edward Lewis Houghton & Peter William Carpenter: Aerodynamics for engineering students, 5. edition, s. 95. Butterworth-Heinemann, 2003. ISBN 9780750651110. Google book (limited preview). (englanniksi)
  2. a b c Frank M. White: Fluid Mechanics, 5. edition, s. 270. Kappale Couette flow between a Fixed and a Moving Plage. McGraw-Hill, 2003. ISBN 0-07-240217-2. (englanniksi)
  3. a b Edward Lewis Houghton & Peter William Carpenter: Aerodynamics for engineering students, 5. edition, s. 95. Butterworth-Heinemann, 2003. ISBN 9780750651110. Google book (limited preview). (englanniksi)

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]