Cauchyn integraalikaava

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Cauchyn integraalikaava on funktioteorian tulos, jolla pystyy laskemaan analyyttisen funktion arvon annetun alueen sisäpisteissä, jos funktion arvot tunnetaan alueen reunalla.

Formaalisti: Olkoon f analyyttinen alueessa A ja D kiekko, jonka sulkeuma sisältyy A:han. Tällöin kaikilla z\in D

f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f(\xi)}{\xi-z} d\xi.[1]

Cauchyn integraalikaavasta seuraa, että analyyttinen funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva. n:nnelle derivaatalle voidaan johtaa esitys

f^{(n)}(z) = {n! \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(\xi) \over (\xi-z)^{n+1}}\, d\xi.[2]

Näitä kaavoja voidaan käyttää hyväksi residylauseen todistamisessa.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Weisstein, Eric W.: CRC Concise Encylopedia of Mathematics, s. 352. , 2003.
  2. Weisstein, Eric W.: CRC Concise Encylopedia of Mathematics, s. 353. , 2003.