Caseyn lause

Caseyn lause tilanteessa, jossa neljä ympyrää sivuavat kaikki suurta ympyrää sen sisäpuolelta.

Geometriassa Caseyn lause kuuluu seuraavasti: Olkoon C₁, C₂, C₃, C₄ neljä ympyrää, jotka sivuavat annettua ympyrää C kaikki joko sisä- tai ulkopuolelta. Kuvatkoon t_i,j, 1≤i,j≤4 ympyröiden C_i ja C_j sen janan pituutta, joka saadaan, kun piirretään ympyröille C_i ja C_j yhteinen tangentti ja joilla ympyrät C_i ja C_j ovat samalla puolelle tangenttia, ja valitaan janan päätepisteiksi tangentin sivuamispisteet C_i:n ja C_j:n kanssa. Tällöin on voimassa

$t_{1,2}t_{3,4}+t_{2,3}t_{1,4}=t_{1,3}t_{2,4}.$

Edelleen, jos ympyröille C₁, C₂, C₃ ja C₄ on voimassa

$\pm t_{1,2}t_{3,4}\pm t_{2,3}t_{1,4}\pm t_{1,3}t_{2,4}=0$

joillakin valinnoilla + ja -, on olemassa ympyrä, joka sivuaa kaikkia neljää ympyrää joko sisä- tai ulkopuolisesti. Lauseen todistuksen toinen suunta on esitetty artikkelissa ja toinen artikkelissa

Wigand on yleistänyt Caseyn lausetta seuraavalla tuloksellaan: Olkoon annettu säännöllinen n-kulmio, missä n on pariton ja olkoon monikulmion sivut v₁,...,v_n ja C monikulmion ympäri piirretty ympyrä. Piirretään jokaiselle v_i ympyrä, joka sivuaa sisäpuolelta v_i:tä ja C:tä ja oletetaan, että näin piirretyillä ympyröillä on sama säde. Olkoon P mielivaltainen piste v₁:tä ja v_n:ää yhdistävällä pienemmällä ympyrän kehällä ja olkoon t_i janan P:stä ympyrälle C pisteeseen v_i, pituus. Tällöin

$\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}t_{i}=0.$

• 
  Animaatio, jossa neljän ympyrän säteet ovat erisuuret
• 
  Neljä ympyrää sivuavat kaikki viidettä ympyrää ulkoisesti
• 
  Neljä ympyrää sivuavat kaikki viidettä ympyrää sisäisesti
• 
  Kolme ympyrää sivuavat viidettä ympyrää sisäisesti ja yksi ulkoisesti
• 
  Teoreeman laajennus, jossa neljällä ympyrällä on yhteinen leikkauspiste
• 
  Teoreeman laajennus, jossa neljällä ympyrällä on yhteinen tangentti
• 
  Sangaku-Casey-probleema vuonna 1874 Japanissa esitetyssä muodossa

Aiheesta muualla

• Konhauser, Velleman, Wagon: Which Way Did the Bicycle Go
• Stanley Rabinowitz, Ptolemy's Legacy, MathPro Press
• Shailes Shirali, On The Generalized Ptolemy Theorem
• http://mathworld.wolfram.com/CaseysTheorem.html