Binetin-Cauchyn identiteetti

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Binetin–Cauchyn identiteetti, joka on nimetty Jacques Philippe Marie Binetin ja Augustin-Louis Cauchyn mukaan, on yhtälö algebrassa.


\biggl(\sum_{i=1}^n a_i c_i\biggr)
\biggl(\sum_{j=1}^n b_j d_j\biggr) = 
\biggl(\sum_{i=1}^n a_i d_i\biggr)
\biggl(\sum_{j=1}^n b_j c_j\biggr) 
+ \sum_{1\le i < j \le n} 
(a_i b_j - a_j b_i ) 
(c_i d_j - c_j d_i )

jossa ai, bi, ci ja di, kaikilla i:n arvoilla, ovat reaalilukuja. Sama yhtälö pätee kompleksiluvuilla ja yleisemmin kaikissa kommutatiivisissa renkaissa

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Laskemalla auki yhtälön viimeisen termin binomitulo, saamme


\sum_{1\le i < j \le n} 
(a_i b_j - a_j b_i ) 
(c_i d_j - c_j d_i )

=
\sum_{1\le i < j \le n} 
(a_i c_i b_j d_j + a_j c_j b_i d_i)
+\sum_{i=1}^n a_i c_i b_i d_i
-
\sum_{1\le i < j \le n} 
(a_i d_i b_j c_j + a_j d_j b_i c_i)
-
\sum_{i=1}^n a_i d_i b_i c_i

jossa toinen ja neljäs termi ovat toistensa vastaluvut, jotka on lisätty yhtälöön, jotta se pystytään saattamaan seuraavaan muotoon:


=
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n
a_i c_i b_j d_j
-
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n
a_i d_i b_j c_j.

Tästä i:llä indeksoidut termit osittelemalla saadaan alkuperäisen yhtälön ensimmäiset kaksi termiä, joka päättää todistuksen.

Binetin–Cauchyn identiteetti kolmessa ulottuvuudessa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun n = 3, ensimmäinen ja toinen termi vastaavat pistetulojen tuloja, kun taas kolmas termi vastaa ristitulojen pistetuloa. Tämä voidaan merkitä

(a \cdot c)(b \cdot d) = (a \cdot d)(b \cdot c) + (a \times b) \cdot (c \times d)\,