Apollonioksen ongelma

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Ympyrät, jotka koskettavat kolmea annettua (mustaa) ympyrää.

Apollonioksen ongelmassa on tarkoituksena löytää ympyrä, joka sivuaa kolmea kuviota, joista kukin voi olla piste, suora tai mielivaltainen ympyrä. Ongelma on saanut nimensä kreikkalaisesta matemaatikko Apollonios Pergalaisesta, joka ratkaisi ongelman 10 versiosta kaikki lukuun ottamatta vaikeinta, jossa ympyrä piirretään sivuamaan kolmea ympyrää. Kahteen helpoimpaan versioon, kolmen pisteen ja kolmen suoran tapauksiin oli esitetty ratkaisu jo Eukleideen Elementassa.[1] Kolmen ympyrän version ratkaisi 1500-luvulla ranskalainen matemaatikko Viéte.[2] Tälle versiolle on kahdeksan mahdollista ratkaisua, jota oikealla oleva kuva havainnollistaa.

Apollonioksen ongelma voidaan ratkaista peilauksena ympyrän suhteen. Ensin kasvatetaan tai pienennetään ympyröitä saman verran, kunnes kaksi ympyrää sivuaa toisiaan. Nyt peilaus sivuamispisteen suhteen muuntaa toisiaan sivuavat ympyrät kahdeksi yhdensuuntaiseksi suoraksi. Sama muunnos muuntaa kolmannen ympyrän joksikin toiseksi ympyräksi. Nyt voidaan konstruoida ympyrä, jonka tangentteina ovat saadut kaksi suoraa ja joka koskettaa kolmatta ympyrää. Ottamalla vielä alkuperäisen peilauksen käänteispeilaus saadaan haluttu ympyrä.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Carl Boyer: Tieteiden kuningatar: Matematiikan historia. Osa 1, s. 214. (A history of mathematics, 1985.) Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-150-0.
  2. Eric W. Weisstein: Wolfram MathWorld Wolfram Research Inc.. Viitattu 14.lokakuuta 2007. (englanniksi)

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.