Alkeismatriisi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa alkeismatriisi on yksinkertainen matriisi, joka saadaan yksikkömatriisista yhdellä alkeisrivitoimituksella - jokainen alkeisrivitoimitus pystytäänkin ilmoittamaan jonkin alkeismatriisin avulla. Alkeismatriisien ominaisuuksien ansiosta pystytään käsittelemään säännöllisiä matriiseja.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

m×m -matriisi E on alkeismatriisi, jos se saadaan yksikkömatriisista Im yhdellä alkeisrivitoimituksella K, jossa K on I, II tai III. Alkeismatriisin E sanotaan tällöin olevan tyyppiä K.

  • I. Kahden rivin paikat vaihdetaan.
  • II. Rivi kerrotaan nollasta eriävällä luvulla.
  • III. Riviin lisätään toisen rivin monikerta.

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]


E_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\quad ,

jossa yksikkömatriisin 2. ja 3. rivi on vaihdettu keskenään.


E_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\quad ,

jossa yksikkömatriisin 3. rivi on kerrottu vakiolla 3.


E_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\quad ,

jossa yksikkömatriisin 3. riviä on kerrottu luvulla 4 ja lisätty se sitten 1. riviin.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

1. Oletetaan, että alkeismatriisi E on tyyppiä K. Kun tällä alkeismatriisilla kerrotaan jokin matriisi A on tulos sama kuin, jos A:lle tehtäisiin rivitoimitus K. (K = I, II tai III)

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suoritetaan matriisille


A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 5 \\ 4 & 3 & 3 & 2 \\ 8 & -2 & 1 & 0 \\ 7 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}\quad

rivitoimitus I alkeismatriisin E avulla. A:n 1. ja 2. rivi vaihdetaan siis seuraavasti:


EA = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 5 \\ 4 & 3 & 3 & 2 \\ 8 & -2 & 1 & 0 \\ 7 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 4 & 3 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 5 \\ 8 & -2 & 1 & 0 \\ 7 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}\quad .

Myös rivitoimitukset II ja III voitaisi esittää alkeismatriisien avulla.

2. Jos äärellisellä määrällä alkeismatriiseja kerrotaan jotakin matriisia B ja saadaan tuloksi matriisi A, matriisit A ja B ovat riviekvivalentteja.

3. Alkeismatriisi E on säännöllinen ja sen käänteismatriisi E -1 on samaa tyyppiä K kuin E.

Käyttö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alkeismatriisien ominaisuuksia hyödynnetään, kun todistetaan matriisien säännöllisyysehtoa.

Säännöllisyysehto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matriisi A on säännöllinen, jos ja vain jos A ja sitä vastaava yksikkömatriisi ovat riviekvivalentteja.