Adjungoitu matriisi

Adjungoitu matriisi eli adjungaatti (engl. adjoint) on annetun matriisin kompleksikonjugaatin transpoosi. Toisin sanoen, jos matriisi $A = (a_{ij})\,$ kuuluu renkaaseen $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ ja $\bar{z}$ on kompleksiluvun $z$ kompleksikonjugaatti, niin $A$:n adjungaatti

$A^* = (\bar{a}_{ji})$.

Etenkin kvanttimekaniikassa on tavallista merkitä adjungaattia "tikarilla" (dagger): $A^\dagger$. Adjungointi voidaan myös periaatteessa kirjoittaa "auki" kompleksikonjugointina ja transponointina: $\bar{A}^T$. Näin toimitaan kuitenkin harvoin, sillä adjungaatille on niiden yleisyyden takia käytännöllistä käyttää omaa merkintää.

Itseadjungoitu matriisi

Pääartikkeli: Hermiittinen matriisi

Adjungoitujen matriisien tärkeän erikoistapauksen muodostavat hermiittiset eli itseadjungoidut matriisit (engl. self adjoint). Ne ovat neliömatriiseja, joille

$A^* = A\,$.

Jos $A$ on reaalinen (eli kaikki sen alkiot ovat reaalilukuja), itseadjungoituvuus on sama kuin matriisin symmetrisyys. Itseadjungoidulla matriisilla on sovellusten kannalta tärkeitä ominaisuuksia:

• Olkoon $\langle \cdot,\cdot \rangle$ sisätulo. Matriisi $A$ on itseadjungoitu jos ja vain jos $\langle A\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle = \langle \mathbf{x},A\mathbf{y}\rangle$.
• Itseadjungoidun matriisin kaikki ominaisarvot ovat reaalisia.
• Itseadjungoitu matriisi on unitaarisesti diagonalisoituva.
• Itseadjungoidun matriisin ominaisvektoreista voidaan valita $\mathbb{C}^n$:n ortonormaali kanta.