Lähdekoodi sivulle Iwasawan teoria

[[Lukuteoria]]ssa '''Iwasawan teoria''' on objektien aritmeettisten ominaisuuksien tutkimista lukukuntien [[Kunalaajennus|kuntalaajennusten]] jonojen  suhteen. Se alkoi kuin [[ideaaliluokkaryhmä|ideaaliluokkaryhmien]] [[Galois'n moduli]]en teorian avulla, jonka tutkimisen käynnisti [[Kenkichi Iwasawa]] vuonna 1959<ref>Kenkichi Iwasawa, On Γ-extensions of algebraic number fields, Bulletin of the American Mathematical Society, issn=0002-9904, volume=65, issue=4, sivut 183–226</ref> osana [[syklotominen kunta|syklotomisten kuntien]] teoriaa. 1970-luvun alussa [[Barry Mazur]] tutki Iwasawan teorian yleistyksiä [[Abelin varisto]]ihin. 1990-luvun alussa [[Ralph Greenberg]] on tutkinut Iwasawan teoriaa [[motiivi (algebrallinen geometria)|motiiveihin]].

==Formuloiminen==
Iwasawa tutki niin sanottuja <math>\mathbb{Z}_p</math>-laajennuksia. Nämä ovat [[lukukunta|lukukuntien]] <math>F</math> äärettömiä laajennuksia, joiden [[Galois'n ryhmä]] <math> \Gamma </math> on isomorfinen [[p-aditinen luku|p-aditisten lukujen]] additiivisen ryhmän kanssa jollakin alkuluvulla ''p''. Jokainen <math> \Gamma </math>:n suljettu aliryhmä on muotoa <math> \Gamma^{p^n} </math>, joten Galois'n teorian mukaan <math> \mathbb{Z}_p </math>-laajennus <math> F_\infty/F </math> on sama asia kuin kuntalaajennusten muodostama torni <math> F = F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \ldots \subset F_\infty </math>, missä <math>\textrm{Gal}(F_n/F)\cong \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>. Iwasawa tutki klassisia Galois'n moduleja kuntien <math> F_n </math> suhteen, missä hän tutki modulien rakennetta kunnan <math>F_\infty</math> suhteen.

Yleisemmin Iwasawan teoria tutkii Galois'n modulien rakennetta yli sellaisten laajennusten suhteen, joiden Galois'n ryhmä on [[p-aditinen Lien ryhmä]].

==Esimerkki==
Olkoon ''p'' alkuluku ja olkoon ''K''&nbsp;=&nbsp;'''Q'''(μ<sub>''p''</sub>) kunta, jonka virittää '''Q''':n suhteen ''p'':s ykkösenjuuri. Iwasawa tutki seuraavaa lukukuntien laajennusten jonoa:

:<math> K = K_{0} \subset K_{1} \subset \cdots \subset K_{\infty}, </math>

missä <math>K_n</math> on kunta, joka on saatu liittämällä <math>K</math>:hon ''p<sup>n+1</sup>'' ykkösen juurta ja <math> K_\infty = \bigcup K_n </math>. Siitä, että <math>\textrm{Gal}(K_n/K)\simeq \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> seuraa, äärettömän Galois'n teorian avulla, että <math>\textrm{Gal}(K_{\infty}/K)</math> on isomorfinen <math> \mathbb{Z}_p </math>:n kanssa. Saadakseen mielenkiintoisen Galois'n modulin Iwasawa tutki <math>K_n</math>:n  ideaaliluokkaryhmää, ja otti sen ''p''-torsio-osan <math>I_n</math>. On olemassa mielenkiintoisia [[kuntanormi|normikuvauksia]] <math>I_m\rightarrow I_n</math> aina kun <math>m>n</math>, ja näistä saadaan tietoa ottamalla [[käänteinen raja-arvo|käänteinen systeemi]]. Jos asetetaan <math>I = \varprojlim I_n</math>, ei ole vaikeaa nähdä käänteisen raja-arvon konstruktion avulla, että <math>I</math> on moduli <math>\mathbb{Z}_p</math>:n suhteen. Itse asiassa <math>I</math> on [[moduli]] [[Iwasawan algebra]]n <math>\Lambda=\mathbb{Z}_p[[\Gamma]]</math> suhteen. Tämä on [[Krullin dimensio|2-ulotteinen]], [[säännöllinen lokaali rengas]], joten voidaan kuvailla moduleja sen suhteen. Tästä kuvauksesta on mahdollista saada tietoa <math>K</math>:n luokkaryhmän ''p''-osasta.

Tämän motivaatio on se, että ''p''-torsio osa <math>K</math>:n ideaaliluokkaryhmästä on jo tunnistetu [[Ernsts Kummer|Kummerin]] tekemänä, ja tämä oli pääasiallinen este hänen keksimälleen yritykselle todistaa [[Fermat'n suuri lause]].

==Yhteydet p-aditiseen analyysiin==
1950-luvun alusta merkittävä teoria on kehitetty. Pääyhteys modulien teorian ja [[p-aditiset L-funktiot|p-aditisten L-funktioiden]] välille kehitti 1960-luvulla [[Tomio Kubota|Kubota]] ja [[Heinrich-Wolfgang Leopold|Leopold]]. Leopold aloitti [[Bernoullin luku|Bernoullin luvuista]] ja käytti [[interpolaatio]]ta määritellessään p-aditiset analogiset käsitteet [[Dirichlet'n L-funktioille]]. Tuli selväksi, että teorialla oli edellytyksiä yleistää vuosisadan vanhoja tuloksia [[säännöllinen alkulu|säännöllisistä alkuluvuista]].

Iwasawa formuloi [[Iwasawan teorian pääotaksuma]]n otaksumalla, että kaksi metodia jotka määrittelevät p-aditiset L-funktiot (moduliteoreettinen ja interpolaation avulla) vastaisivat toisiaan kunhan ovat hyvin määriteltyjä. Tämän todistivat [[Barry Mazur|Mazur]] ja [[Andrew Wiles|Wiles]]<ref>Mazur, Barry & Wiles, Andrew: Class fields of abelian extensions of '''Q''', doi=10.1007/BF01388599,1984,[[Inventiones Mathematicae]], issn=0020-9910, volume=76,issue=2,sivut=179–330 </ref> rationaaliluvuille vuonna 1984 ja Wiles todisti saman [[totaalinen reaalilukukunta|totaalisille reaalilukukunnille]] vuonna 1990.<ref>Wiles, Andrew  1990: The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields, Annals of Mathematics, vol 131, issue 3, sivut 493–540, doi 10.2307/1971468</ref> Näitä todistuksiaan käytti hyväkseen [[Ken Ribet]] kun hän todisti käänteisen tuloksen Herbrandin lauselle, niin sanotun [[Herbrandin–Ribetin lause]]en.

[[Karl Rubin]] löysi paljon alkeellisemman todistuksen Mazurin–Wilesin lauseelle käyttämällä hyväksi Kolyvaginin [[Eulerin systeemi|Eulerin systeemejä]], jotka on selitetty [[Serge Lang|Langin]]<ref>Lang: Cyclotomic fields I and II</ref> ja [[Lawrence C. Washington |Washingtonin]]<ref>Washington: Introduction to cyclotomic fields</ref> kirjoissa, ja joista on myöhemmin todistettu muita yleistyksiä pääotaksumasta imaginaarisille neliöllisille kunnille.

==Yleistyksiä==
Äärettömän tornin Galois'n ryhmä, alkukuntaa ja aritmeettistä modulia voidaan vaihdella. Kussakin tapauksessa saadaan ''pääotaksuma'', joka kytkee yhtee tornit ja ''p''-aditiset L-funktiot.

Vuonna 2002 Chris Skinner ja Eric Urban väittivät löytäneensä pääotaksuma todistuksen takauksessa GL(2). Vuonna 2010 he julkaisivat artikkelin vertaisarvioitavaksi.<ref>Skinne, Chris & Urban, Eric: The Iwasawa main conjectures for GL<sub>2</sub>, 2010, http://www.math.columbia.edu/%7Eurban/eurp/MC.pdf sivu 219.</ref>

==  Lähteet  ==

{{Viitteet|sarakkeet}}

==Aiheesta muualla==
de Shalit, Ehud: Iwasawa theory of elliptic curves with complex multiplication. ''p''-adic ''L'' functions, Perspectives in Mathematics, vol=3, Academic Press, 1987, isbn=0-12-210255-X, zbl=0674.12004

[[Luokka:Kuntateoria]]
[[Luokka:Syklotomiset kunnat]]
[[Luokka:Luokkakuntateoria]]
[[Luokka:Tieteelliset teoriat]]

{{käännös|:en:Iwasawa theory}}