Linnikin lause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Linnikin lause vastaa analyyttisen lukuteorian alalla Dirichlet'n aritmeettisia lukujonoja koskevan lauseen pohjalta nousevaan luonnolliseen kysymykseen.

Olkoot a ja d sellaisia keskenään jaottomia positiivisia kokonaislukuja, että 1 ≤ ad. Tällöin aritmeettinen lukujono

a + nd,

missä n käy läpi kaikki positiiviset kokonaisluvut, sisältää Dirichlet'n lauseen mukaan äärettömän määrän alkulukuja.

Olkoon p(a,d) näistä pienin kullakin a ja d.

Linnikin lauseen mukaan on tällöin olemassa sellaiset positiiviset reaaliluvut c ja L, että:

 p(a,d) < c d^{L} \; .

Lause on nimetty Yuri Vladimirovich Linnikin mukaan. Hän todisti sen vuonna 1944. [1][2] Vaikka Linnikin todistuksen mukaan c ja L ovat efektiivisesti laskettavissa, hän ei esittänyt niille numeerisia arvoja.

Vakiota L kutsutaan Linnikin vakioksi. Seuraava taulukko kuvaa edistysaskeleita sen arvon laskemisessa.

L ≤ Julkaisuvuosi Tekijä
10000 1957 Pan[3]
5448 1958 Pan
777 1965 Chen[4]
630 1971 Jutila
550 1970 Jutila[5]
168 1977 Chen[6]
80 1977 Jutila[7]
36 1977 Graham[8]
20 1981 Graham[9] (tehty ennen Chenin 1979 artikkelin ilmestymistä)
17 1979 Chen[10]
16 1986 Wang
13.5 1989 Chen and Liu[11][12]
5.5 1992 Heath-Brown[13]

Lisäksi Heath-Brownin tuloksessa vakio c on efektiivisesti laskettavissa.

Tiedetään, että L ≤ 2 lähes kaikilla kokonaisluvuilla d.[14]

Yleistetyn Riemannin hypoteesin avulla voidaan osoittaa, että

 p(a,d) \leq \varphi(d)^2 ln^2 d \; ,

missä \varphi on Eulerin funktio. [13]

On myös esitetty olettamus, että:

 p(a,d) < d^2 \; . [13]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression I. The basic theorem Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 139-178
  2. Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression II. The Deuring-Heilbronn phenomenon Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 347-368
  3. Pan Cheng Dong On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Record (N.S.) 1 (1957) pp. 311-313
  4. Chen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Sinica 14 (1965) pp. 1868-1871
  5. Jutila, M. A new estimate for Linnik's constant. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I No. 471 (1970) 8 pp.
  6. Chen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression and two theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. Sci. Sinica 20 (1977), no. 5, pp. 529-562
  7. Jutila, M. On Linnik's constant. Math. Scand. 41 (1977), no. 1, pp. 45-62
  8. Applications of sieve methods Ph.D. Thesis, Univ. Michigan, Ann Arbor, Mich., 1977
  9. Graham, S. W. On Linnik's constant. Acta Arith. 39 (1981), no. 2, pp. 163-179
  10. Chen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression and theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. II. Sci. Sinica 22 (1979), no. 8, pp. 859-889
  11. Chen Jingrun and Liu Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. III. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 6, pp. 654-673
  12. Chen Jingrun and Liu Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. IV. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 7, pp. 792-807
  13. a b c Heath-Brown, D. R. Zero-free regions for Dirichlet L-functions, and the least prime in an arithmetic progression, Proc. London Math. Soc. 64(3) (1992), pp. 265-338
  14. E. Bombieri, J. B. Friedlander, H. Iwaniec. "Primes in Arithmetic Progressions to Large Moduli. III", Journal of the American Mathematical Society 2(2) (1989), pp. 215–224.