Buckinghamin π-teoreema

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Buckinghamin π-teoreema on keskeinen teoreema dimensioanalyysissa. Sen avulla voidaan selvittää, kuinka monta riippumatonta dimensiotonta suuretta fysikaalisessa ongelmassa on.

Olkoon fysikaalisesti mielekkäässä yhtälössä n kappaletta suureita, jotka voidaan ilmaista k toisistaan riippumattomalla perussuureella. Buckinghamin π-teoreeman mukaan alkuperäinen ongelma voidaan ilmaista yhtäpitävästi yhtälöllä, jossa on joukko p = nk  dimensiotonta alkuperäisistä muuttujista konstruoitua suuretta.

Matemaattisesti: olkoon alkuperäinen yhtälö

f(q_1,q_2,\ldots,q_n)=0\,\!

missä qi  ovat n muuttujaa, jotka voidaan ilmaista k riippumattomalla perussuureella. Nyt alkuperäinen yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

F(\pi_1,\pi_2,\ldots,\pi_p)=0\,\!

missä p = nk ja πi ovat dimensiottomia suureita siten, että

\pi_i=q_1^{m_1}\,q_2^{m_2}\cdots q_n^{m_n}

missä eksponentit mi  ovat vakioita.

Dimensiottomien suureiden valinta ei ole kuitenkaan selvä, vaan jää tutkijan harteille. Teoreema on nimetty Edgar Buckinghamin (1867–1940) mukaan, joka käytti ensimmäisenä π-merkintää vuonna 1914.

Esimerkki: matemaattinen heiluri[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ongelmana on määrittää matemaattisen heilurin heilahdusaika T. Oletetaan, että siihen vaikuttavia tekijöitä ovat heilurin varren pituus L, massa M sekä painovoimakiihtyvyys Maan pinnalla g (yksikkö m/s2). Malli on muotoa

f(T,M,L,g) = 0\,

Yhtälössä on kolme perussuuretta: massa, aika ja pituus. Siten ongelman kuvaamiseen riittää yksi dimensioton suure π, ja se voidaan ilmaista muodossa

f(\pi) = 0\,

missä

\pi=(T)^{m_1}(M)^{m_2}(L)^{m_3}(g)^{m_4}\,
   =(T)^{m_1}(M)^{m_2}(L)^{m_3}(L/T^2)^{m_4}\,

joillakin m1…m4. Tulee siis olla  (s)^{m_1}(kg)^{m_2}(m)^{m_3}(m/s^2)^{m_4}\ = 1, eli

  • pituus: m_3 + m_4 \; = \; 0
  • massa: m_2 \; = \; 0
  • aika: -2 \cdot m_4 + m_1 = 0

Tästä voidaan ratkaista, että vain

\pi=(T)^2(M)^0(L)^{-1}(L/T^2)^1\,
   =gT^2/L\,

tai jokin sen potenssi täyttää vaatimukset. Siis ongelma voidaan ilmaista

f(gT^2/L) = 0\,

Dimensioanalyysi kertoo, että massalla ei ole vaikutusta heilurin heilahdusaikaan. Matemaattisen heilurin heilahdusaika on  T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja vieraskielisen Wikipedian artikkelista.