Buckinghamin π-teoreema

Wikipedia

Loikkaa: valikkoon, hakuun

Buckinghamin π-teoreema on keskeinen teoreema dimensioanalyysissa. Sen avulla voidaan selvittää, kuinka monta riippumatonta dimensiotonta suuretta fysikaalisessa ongelmassa on.

Olkoon fysikaalisesti mielekkäässä yhtälössä n kappaletta suureita, jotka voidaan ilmaista k toisistaan riippumattomalla perussuureella. Buckinghamin π-teoreeman mukaan alkuperäinen ongelma voidaan ilmaista yhtäpitävästi yhtälöllä, jossa on joukko p = n − k  dimensiotonta alkuperäisistä muuttujista konstruoitua suuretta.

Matemaattisesti: olkoon alkuperäinen yhtälö

f(q_1,q_2,\ldots,q_n)=0\,\!

missä qi  ovat n muuttujaa, jotka voidaan ilmaista k riippumattomalla perussuureella. Nyt alkuperäinen yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

F(\pi_1,\pi_2,\ldots,\pi_p)=0\,\!

missä p = n − k ja πi ovat dimensiottomia suureita siten, että

\pi_i=q_1^{m_1}\,q_2^{m_2}\cdots q_n^{m_n}

missä eksponentit mi  ovat vakioita.

Dimensiottomien suureiden valinta ei ole kuitenkaan selvä, vaan jää tutkijan harteille. Teoreema on nimetty Edgar Buckinghamin (1867–1940) mukaan, joka käytti ensimmäisenä π-merkintää vuonna 1914.

[muokkaa] Esimerkki: matemaattinen heiluri

Ongelmana on määrittää matemaattisen heilurin heilahdusaika T. Oletetaan, että siihen vaikuttavia tekijöitä ovat heilurin varren pituus L, massa M sekä painovoimakiihtyvyys Maan pinnalla g (yksikkö m/s2). Malli on muotoa

f(T,M,L,g) = 0\,

Yhtälössä on kolme perussuuretta: massa, aika ja pituus. Siten ongelman kuvaamiseen riittää yksi dimensioton suure π, ja se voidaan ilmaista muodossa

f(\pi) = 0\,

missä

\pi=(T)^{m_1}(M)^{m_2}(L)^{m_3}(g)^{m_4}\,
=(T)^{m_1}(M)^{m_2}(L)^{m_3}(L/T^2)^{m_4}\,

joillakin m1…m4. Tulee siis olla (s)^{m_1}(kg)^{m_2}(m)^{m_3}(m/s^2)^{m_4}\ = 1, eli

  • pituus: m_3 + m_4 \; = \; 0
  • massa: m_2 \; = \; 0
  • aika: -2 \cdot m_4 + m_1 = 0

Tästä voidaan ratkaista, että vain

\pi=(T)^2(M)^0(L)^{-1}(L/T^2)^1\,
=gT^2/L\,

tai jokin sen potenssi täyttää vaatimukset. Siis ongelma voidaan ilmaista

f(gT^2/L) = 0\,

Dimensioanalyysi kertoo, että massalla ei ole vaikutusta heilurin heilahdusaikaan. Matemaattisen heilurin heilahdusaika on T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}.

[muokkaa] Aiheesta muualla

Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty vieraskielisen Wikipedian artikkelista, ja siitä puuttuvat lähdemerkinnät tai lähdemerkinnät tarvitsevat tarkistamista. Voit auttaa Wikipediaa etsimällä sopivat lähteet tai tarkistamalla lähteet.
Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org/wiki/Buckinghamin_%CF%80-teoreema
Henkilökohtaiset työkalut