Brianchonin lause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Brianchonin lause on euklidiseen geometriaan liittyvä tulos: Sivutkoon suorat AB, BC, CD, DE, EF ja FA annettua ympyrää pisteissä G, H, I, J, K ja L. Tällöin suorat AD, BE ja CF leikkaavat samassa pisteesssä.

Todistus: Olkoon M AB:n ja CD:n leikkauspiste ja N DE:n ja FA:n leikkauspiste. Nyt Newtonin lauseen mukaan sovellettuna nelikulmioon AMDN janat AD, IL ja GJ leikkaavat samassa pisteessa, olkoon piste A'. Samoin janat BE, HK ja GJ leikkaavat pisteessä B' ja janat CF, HK ja IL pisteessä C'. Nyt janat IL ja A'C' yhtyvät. Pascalin lauseen mukaan sovellettuna pisteisiin G, G, I, L, L, H pisteet A, O ja P ovat samalla suoralla, missä O on GI:n ja LH:n leikkauspiste ja P on IL:n ja HG:n leikkauspiste. Soveltamalla jälleen Pascalin lausetta pisteisiin H, H, L, I, I ja G huomataan, että C, O ja P ovat samalla suoralla.

Olkoon nyt G on AB:n la A'B':n leikkauspiste, H on BC:n ja B'C':n leikkauspiste ja P on CA:n ja IL:n leikkauspiste. Tällöin myös P on CA:n ja C'A':n leikkauspiste. Nyt soveltamalla Desarguesin lausetta kolmioihin ABC ja A'B'C' saadaan, että janat AA'=AD, BB=BE, CC'=CF leikkaavat samassa pisteessä.