Semiempiirinen massakaava

Semiempiirinen massakaava eli Weizsäckerin kaava on ydinfysiikassa yhtälö, jolla voidaan arvioida atomiytimien massaa niiden protoni- ja neutroniluvun perusteella. Kaava perustuu osittain teoriaan ja osittain kokeellisiin eli empiirisiin mittauksiin. Teorian pohjana on George Gamovin esittämä pisaramalli, joka selittää useimmat kaavan termit ja antaa sen kertoimille karkeat likiarvot. Semiempiirisen massakaavan muotoili vuonna 1935 saksalainen fyysikko Carl Friedrich von Weizsäcker, ja vaikka sen kertoimia on täsmennetty vuosien varrella, on kaava säilynyt saman muotoisena.

Semiempiirinen massakaava antaa hyvät arviot atomimassoille, mutta se ei selitä, miksi tietyillä maagisilla luvuilla sidosenergia nukleonia kohti on korkeampi ja atomiydin stabiilimpi kuin massakaava ennustaa.

Nestepisaramalli

Semiempiirisen massakaavan ennuste sidosenergialle. Sidosenergia nukleonia kohden megaelektronivoltteina on esitetty eri nuklideille niin, että pystyakselilla on atomiluku Z ja vaaka-akselilla neutroniluku N. Suurimmat sidosenergiat havaitaan arvolla Z = 26 (rauta).

Ydinfysiikan nestepisaramallissa atomiydin on pisara kokoonpuristumatonta raskasta "ydinnestettä". Mallia ehdotti ensimmäisenä George Gamov ja sitä kehittivät Niels Bohr ja John Archibald Wheeler. Atomiydin koostuu nukleoneista (protoneista ja neutroneista), jotka pysyvät yhdessä vahvan vuorovaikutuksen ansiosta.

Mallin tuloksena saadaan yhtälö, joka ennustaa ytimen sidosenergian sen protoni- ja neutroniluvun funktiona. Yhtälön oikealla puolella on viisi termiä. Nämä vastaavat vahvan vuorovaikutuksen sidosvaikutusta, pintaenergiatermiä, sähköistä repulsiota (Coulombin voima), asymmetriatermiä (Paulin kieltosääntö) ja paritermiä.

Ytimen kokonaissidosenergia muodostuu siis likimain seuraavasta viidestä energiatyypistä:

Semiempiirisen massakaavan termejä atomiytimen nestepisaramallissa.

Tilavuusenergia. Kun jokaisella nukleonilla on mahdollisimman paljon naapureita, vahva ydinvoima on verrannollinen ytimen tilavuuteen.

Pintaenergia. Ytimen pinnalla oleva nukleoni ei vuorovaikuta yhtä monen muun nukleonin kanssa kuin ne, jotka ovat ytimen sisäosassa. Pintaenergiatermi ottaa tämän huomioon ja se on siksi negatiivinen ja verrannollinen ytimen pinta-alaan.

Coulombin energia. Protonit hylkivät toisiaan sähköisesti, mikä pienentää ytimen sidosenergiaa.

Asymmetriaenergia (tai Paulin energia). Paulin kieltosääntöön liittyvää energiaa. Ydinaine on stabiileimmillaan jos protoneita ja neutroneita on sama määrä keskenään. Jos niitä on eri määrä, niin toinen nukleonityyppi joutuu täyttämään yhä korkeampia energiatasoja samalla kun toisella nukleonityypillä jää energiatasoja täyttämättä.

Parienergia. Korjaustermi, joka ottaa huomioon protoni- ja neutroniparien muodostumisen. Parillinen protoni- ja neutroniluku on stabiilimpi kuin pariton.

Massakaava

Olkoon A nukleonien kokonaismäärä, Z protonien lukumäärä ja N neutronien lukumäärä siten, että A = Z + N.

Atomiytimen massa saadaan kaavasta

$m=Zm_{p}+Nm_{n}-{\frac {E_{B}}{c^{2}}},$

missä $m_{p}$ ja $m_{n}$ovat protonin ja neutronin lepomassat ja $E_{B}$ on ytimen sidosenergia. Semiempiirisen massakaavan mukaan sidosenergia voidaan esittää muodossa

$E_{B}=a_{V}A-a_{S}A^{2/3}-a_{C}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}-a_{A}{\frac {(A-2Z)^{2}}{A}}+\delta (A,Z).$

Kullakin kaavan termillä on teoreettinen perusta. Kaavan kertoimet $a_{V}$, $a_{S}$, $a_{C}$, $a_{A}$ ja termissä $\delta (A,Z)$esiintyvä kerroin määritetään kokeellisesti.