Olkoon
topologinen avaruus. Tällöin joukon
pinta on mikä tahansa jatkuva kuvaus
, missä joukko
on yhtenäinen.[1]
Kuvauksen
kuvajoukkoa
kutsutaan pinnan
kuvaajaksi. Usein tosin pinnan kuvaajaa kutsutaan lyhyesti vain pinnaksi.
Euklidisen avaruuden
pintoja kutsutaan yleensä parametrisoiduiksi pinnoiksi. Nimitys juontuu siitä, että voimme aina kirjoittaa pinnan
kaavan jatkuvien funktioiden
avulla siten, että pisteessä
pinnan
kaava
.
Funktioita
kutsutaan pinnan
koordinaattifunktioiksi.
Oletetaan, että
on pinta ja että sen koordinaattifunktioiden
osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia (ts. ne koordinaattifunktiot ovat jatkuvasti derivoituvia). Määrittelemme, että pinnan
osittaisderivaatat pisteessä
ovat funktiot
,
.
Näiden osittaisderivaattojen avulla voimme määritellä pinnan
derivaatan. Pinnan
derivaattafunktio on funktio
,
.
Derivaattafunktion kaavaa
kutsumme lyhyesti derivaataksi pisteessä
. Lisäksi sanomme, että pinta on derivoituva jos sillä on olemassa derivaattafunktio (eli derivaatta jokaisessa D:n pisteessä).
Pinnan derivaatan hyöty näkyy esimerkiksi siinä, että jos
, niin lineaarinen funktio
,
,
on likimääräisesti sama kuin itse pinta
pisteen
läheisyydessä. Funktiota
kutsutaan pinnan
tangenttitasoksi pisteessä
.
:n pintojen tärkeä sovellus on ns. pintaintegraali.
- ↑ Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 312–313. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.