Newtonin–Pepysin ongelma

Newtonin–Pepysin ongelma on todennäköisyysongelma, joka käsittelee todennäköisyyttä heittää kuutoset vaihtelevalla määrällä noppia.

Vuonna 1693 Samuel Pepys ja Isaac Newton kiistelivät Pepysin esittämästä väitteestä, josta Pepys aikoi lyödä vetoa. Ongelma oli tämä:

Millä seuraavista kolmesta väitteestä on suurin mahdollisuus toteutua?

A. Kuusi painottamatonta noppaa heitetään toisistaan riippumattomasti ja saadaan ainakin yksi kuutonen.

B. Kaksitoista painottamatonta noppaa heitetään toisistaan riippumattomasti ja saadaan ainakin kaksi kuutosta.

C. Kahdeksantoista painottamatonta noppaa heitetään toisistaan riippumattomasti ja saadaan ainakin kolme kuutosta.

Pepys ajatteli intuitiivisesti, että vaihtoehdolla C olisi suurin todennäköisyys, mutta Newton päätteli oikein, että itse asiassa vaihtoehdolla A on suurin todennäköisyys toteutua.

Ratkaisu

Todennäköisyydet vaihtoehdoille A, B ja C ovat:

$P(A)=1-\left({\frac {5}{6}}\right)^{6}={\frac {31031}{46656}}\approx 0.6651\,,$

$P(B)=1-\sum _{x=0}^{1}{\binom {12}{x}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}}\right)^{12-x}={\frac {1346704211}{2176782336}}\approx 0.6187\,,$

$P(C)=1-\sum _{x=0}^{2}{\binom {18}{x}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}}\right)^{18-x}={\frac {15166600495229}{25389989167104}}\approx 0.5973\,.$

Tulokset voidaan havaita soveltamalla binomijakaumaa. Yleisesti, jos P(N) on todennäköisyys heittää ainakin n kuutosta kuudella n nopalla, niin:

$P(N)=1-\sum _{x=0}^{n-1}{\binom {6n}{x}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}}\right)^{6n-x}\,.$

Kun n kasvaa, P(N) vähenee monotonisesti kohti asymptoottista rajaa 1/2.

Newtonin selitys

Vaikka Newton laski oikein heittojen todennäköisyydet, hän tarjosi Pepysille erillisen, intuitiivisemman selityksen. Hän kuvitteli, että vaihtoehdoissa B ja C heitetään noppia kuutosten ryhmissä, ja sanoi että A oli kaikkein todennäköisin vaihtoehdoista, koska se vaati kuutosen saamisen vain yhdellä heitolla, kun taas B ja C vaativat kuutosen saamista jokaisella heitolla. Tämä selitys olettaa, että ryhmä ei tuota enempää kuin yhden kuutosen, joten se ei itse asiassa vastaa alkuperäiseen ongelmaan.