Merkkinen mitta

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Merkkinen mitta on mittateoriassa hyödyllinen mitan yleistys. Se kulkee kirjallisuudessa myös nimellä täysadditiivinen joukkofunktio.

Se määritellään muuten kuten (positiivinen) mitta, mutta arvojen pitää olla reaalilukuja, tai joissain määritelmissä myös on sallittu. Tässä artikkelissa nämä määritelmät erotellaan toisistaan termeillä "äärellinen merkkinen mitta" ja "yleistetty merkkinen mitta".

Määritelmä

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon joukko ja sigma-algebra perusjoukolla . Kuvaus on yleistetty merkkinen mitta, jos se toteuttaa seuraavat ehdot

  1. Tyhjän joukon mitta on nolla, eli
  2. Jos joukot , , missä on numeroituva joukko, ovat erillisiä ja summa on olemassa, niin
    .

Yleistetty merkkinen mitta voi olla myös kuvaus . Kuvaus ei kuitenkaan ole mielekäs kaavan

vuoksi, jos olisi ja .

Äärellinen merkkinen mitta määritellään samoin paitsi että vaaditaan .

Yleensä "merkkinen mitta" tarkoittaa äärellistä merkkistä mittaa, mutta tämä artikkeli ei sitä vaadi.

Ominaisuuksia

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Mikäli merkkinen mitta on ei-negatiivinen kaikilla sigma-algebran alkioilla, on se selvästi mitta (eli positiivinen mitta).

Merkkiselle mitalle voidaan jokaisessa joukossa määritellä niin sanotut ylä- ja alavariaatiot

ja

Kuvaukset ja ovat itse asiassa myös merkkisiä mittoja, jos rajoitumme sigma-algebran alkioihin.

Näiden avulla voidaan osoittaa, että jokainen merkkinen mitta voidaan lausua muodossa

.

Tästä itse asiassa seuraa niin sanottu Jordanin esityslause, jonka mukaan jokainen merkkinen mitta on jonkin kahden mitan erotusfunktio.