Wallisin kaavat

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Wallisin kaavat ovat menetelmiä, joilla voidaan laskea piin likiarvoja mielivaltaisen tarkasti. Kaavat on johtanut englantilainen matemaatikko John Wallis[1]. Wallisin kaavojen mukaan:

(1)
(2) .

Kaavojen todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Wallisin kaavat pystytään todistamaan osittaisintegroinnin avulla.

Merkitään jokaiselle

Tällöin

ja

Jos , niin osittaisintegroimalla nähdään, että

Siispä saadaan rekursiivinen kaava :lle:

Tämän avulla nähdään, että

ja

Näin ollen

, eli

Koska kaikilla , niin . Siten

, kun . Siis
, eli väite (1) on todistettu.

Koska

ja
, niin induktiotodistuksella nähdään helposti, että
kaikilla n. Siten väite (2) seuraa väitteestä (1).

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Lehtinen, Matti: Osittaisintegroinnin ihmeitä: Wallisin ja Stirlingin kaavat [1]