Wallisin kaavat

Wallisin kaavat ovat menetelmiä, joilla voidaan laskea piin likiarvoja. Kaavat on johtanut englantilainen matemaatikko John Wallis. Wallisin kaavojen mukaan:

(1) ${\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right]={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \ldots$

(2) ${\sqrt {\pi }}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n!)^{2}\cdot 2^{2n}}{(2n)!\cdot {\sqrt {n}}}}$.

Kaavassa (2) merkintä ”${\displaystyle$ !} ” tarkoittaa kertomaa.

Wallisin kaavojen avulla voidaan arvioida piitä seuraavasti: Jos $N\in \mathbb {N}$, ($N\geq 1$), niin

$\pi \simeq 2\cdot \prod _{n=1}^{N}\left[{\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right]$ tai

$\pi \simeq \left({\frac {\left(N!\right)^{2}\cdot 2^{2N}}{(2N)!\cdot {\sqrt {N}}}}\right)^{2}$

Wallisin kaavojen johtaminen

Wallisin kaava (1) johdetaan osittaisintegroinnin avulla:

Merkitään kaikille $n\in \mathbb {N}$

$I_{n}=\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{n}(x)\,{\text{d}}x$,

jossa käytetään merkintää ${\textstyle \sin ^{n}(x)=\left(\sin(x)\right)^{n}}$,

$A_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {2i}{2i-1}}\cdot {\frac {2i}{2i+1}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot \ldots \cdot {\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}$ ja

$B_{n}={\frac {(n!)^{2}\cdot 2^{2n}}{(2n)!\cdot {\sqrt {n}}}}$

Tällöin

$I_{0}={\frac {\pi }{2}}$ ja $I_{1}=1$

Jos ${\textstyle n\geq 2}$ , niin osittaisintegroimalla nähdään, että

$I_{n}=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)\cdot \sin ^{n-1}\left({\frac {\pi }{2}}\right)+\cos(0)\cdot \sin ^{n-1}(0)-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left[-\cos(x)\cdot (n-1)\cdot \sin ^{n-2}(x)\cdot \cos(x)\right]\,{\text{d}}x$

$=(n-1)\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left[\cos ^{2}(x)\cdot \sin ^{n-2}(x)\right]\,{\text{d}}x=(n-1)\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left[(1-\sin ^{2}(x))\cdot \sin ^{n-2}(x)\right]\,{\text{d}}x$

$=(n-1)\cdot \left[\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{n-2}(x)\,\mathrm {d} x-\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{n}(x)\,\mathrm {d} x\right]$

$=(n-1)\cdot (I_{n-2}-I_{n})$

Näin saadaan rekursiivinen kaava ${\textstyle I_{n}}$:lle:

$I_{n}={\frac {n-1}{n}}\cdot I_{n-2}$

Tämän avulla nähdään, että

$I_{2n}={\frac {2n-1}{2n}}\cdot I_{2n-2}={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}\cdot I_{2n-4}$

$=\ldots ={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot \ldots \cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}\cdot {\frac {2n-1}{2n}}\cdot I_{0}$ ja

$I_{2n+1}={\frac {2n}{2n+1}}\cdot I_{2n-1}={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdot I_{2n-3}$

$=\ldots ={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot \ldots \cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\cdot I_{1}$

Näin ollen

${\frac {I_{2n+1}}{I_{2n}}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot \ldots \cdot {\frac {2n-2}{2n-3}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {I_{1}}{I_{0}}}=A_{n}\cdot {\frac {2}{\pi }}$ , eli

$A_{n}={\frac {I_{2n+1}}{I_{2n}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}$

Koska $\sin ^{2n+2}(x)\leq \sin ^{2n+1}(x)\leq \sin ^{2n}(x)$ kaikilla $x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$ , niin $I_{2n+2}\leq I_{2n+1}\leq I_{2n}$ . Siten

$1\geq {\frac {I_{2n+1}}{I_{2n}}}\geq {\frac {I_{2n+2}}{I_{2n}}}={\frac {{\frac {2n+1}{2n+2}}\cdot I_{2n}}{I_{2n}}}={\frac {2n+1}{2n+2}}\to 1$ , kun $n\to \infty$ . Siis

$\lim _{n\to \infty }A_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {I_{2n+1}}{I_{2n}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{2}}$ , eli väite (1) on todistettu. $\Box$

Koska

$B_{n+1}^{2}=B_{n}^{2}\cdot {\frac {(2n+2)^{2}}{(2n+1)^{2}}}\cdot {\frac {n}{n+1}}$ ja

$A_{n}=A_{n+1}\cdot {\frac {(2n+1)(2n+3)}{(2n+2)^{2}}}$ , niin induktiotodistuksella voidaan osoittaa, että

$B_{n}^{2}={\frac {2n+1}{n}}\cdot A_{n}$ kaikilla $n\in \mathbb {N}$. Siten väite (2) seuraa väitteestä (1). $\Box$

Wallisin kaavojen tarkkuus piin likiarvon laskennassa

Oheisessa taulukossa on laskettuna joitain likiarvoja piille käyttäen Wallisin kaavoja (1) ja (2). Tulos on pyöristetty kuuden desimaalin tarkkuudelle. Kaavan tuottaman arvon virhe on laskettu suhteellisesti:

${\text{Virhe}}\,(\%)=\left({\frac {\pi _{\text{kaava}}}{\pi }}-1\right)\cdot 100\,\%$,

missä $\pi _{\text{kaava}}$ on kaavan (1) tai (2) antama tulos, vastaavasti. Vertailun vuoksi piin likiarvo kuuden desimaalin tarkkuudella on ${\textstyle \pi \approx }$ 3,141593.

Wallisin kaava (#)	$N=1$		$N=10$		$N=100$		$N=1\,000$		$N=10\,000$
	Tulos	Virhe	Tulos	Virhe	Tulos	Virhe	Tulos	Virhe (%)	Tulos	Virhe (%)
Kaava (1): ${\textstyle \pi \simeq 2\cdot \prod _{n=1}^{N}\left[{\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right]}$	2,666667	−15 %	3,067704	−2,4 %	3,133787	−0,2 %	3,140808	−0,02 %	3,141514	−0,002 %
Kaava (2): $\pi \simeq \left({\frac {\left(N!\right)^{2}\cdot 2^{2N}}{\left(2N\right)!\cdot {\sqrt {N}}}}\right)^{2}$	4,000000	+27 %	3,221089	+2,5 %	3,149456	+0,3 %	3,142378	+0,03 %	3,141671	+0,003 %

Katso myös

• Luettelo piin laskukaavoista