Virittäjä (ryhmäteoria)

Virittäjä on ryhmän alkio, jonka avulla voidaan muodostaa koko ryhmän alkiot tai osa niistä käyttämällä ryhmän laskutoimitusta. Jos koko ryhmän jokainen alkio voidaan esittää virittäjien avulla, sanotaan, että ryhmä on viritetty kyseisillä alkioilla.

Määritelmä

Olkoon $(G,\cdot )$ ryhmä ja $V\subset G$ joukko sen alkioita. Virittäjäjoukon $V$ virittämä aliryhmä määritellään muodossa $$\langle V\rangle =\bigcap _{V\subset H\leq G}H,$$ missä leikkaus otetaan kaikkien sellaisten aliryhmien yli, jotka sisältävät joukon $V$. Jos virittäjäjoukko on äärellinen, $V={v_{1},\dots ,v_{n}}$, sanotaan että ryhmä on äärellisesti viritetty ja sen alkiot voidaan esittää virittäjien tulona: $$\langle V\rangle =\langle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{n}\rangle =\left\lbrace \prod _{i=1}^{m}v_{k_{i}}^{\pm 1}\mid m\in \mathbb {Z} ,1\leq k_{i}\leq n\right\rbrace .$$

Esimerkkejä

Kokonaislukujen ryhmä $(\mathbb {Z} ,+)$ on viritetty alkiolla 1, joten $\mathbb {Z} =\langle 1\rangle .$

Ryhmä $(\mathbb {Z} _{6},+)$ on viritetty alkiolla 1, mutta myös alkiolla 5, koska molempia lisäämällä modulo 6 saadaan kaikki jäännösluokat.

Tason hilapisteitä vastaava ryhmä $\mathbb {Z} ^{2}$ on viritetty kahdella alkiolla $a$ ja $b$, eli $\mathbb {Z} ^{2}=\langle a,b\rangle .$

Suhde ryhmän esitykseen

Virittäjät muodostavat esityksen ensimmäisen osan muodossa $\langle V\mid R\rangle ,$ missä $V$ on virittäjäjoukko ja $R$ on sääntöjoukko.

Lähteet

• Huhtamäki, Hermanni: Perusryhmä ja topologisien avaruuksien luokittelu. (Kandidaatintyö) Aalto-yliopisto, 19.12.2023. URN:NBN:fi:aalto-202312277644+ Teoksen verkkoversio Aalto-yliopiston julkaisuarkistossa (pdf) Viitattu 16.5.2025.