Ultrametrinen avaruus

Ultrametrinen avaruus on erikoistapaus metrisestä avaruudesta. Toisinaan annettua ultrametristä avaruutta kutsutaan epäarkhimediseksi metriikaksi tai supermetriikaksi. Vaikka jotkut ultrametrisen avaruuden lauseet voivat vaikuttaa ensisilmäyksellä oudoilta, ultrametriikalla on kätevä monissa tilanteessa. Esimerkiksi p-aditinen analyysi käyttää paljolti hyväkseen makes ultrametriikkaa p-aditisen metriikan muodossa.

Formaali määritelmä

Formaalisti ultrametrinen avaruus on joukko pisteitä M joille on annettu metriikka

d : M × M → R ,

missä R on reaalilukujen joukko, jolle kaikilla M:n alkioilla x, y, z, on voimassa:

1. d(x, y) ≥ 0
2. d(x, y) = 0   jos ja vain jos   x=y
3. d(x, y) = d(y, x)   (symmetry)
4. d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)}   (vahva kolmioepäyhtälö tai ultrametrinen epäyhtälö).

Ominaisuuksia

Yllä olevasta määritelmästä voidaan johtaa useita ultrametriikan ominaisuuksi. Ultrametrisessä avaruudessa on voimassa muun muassa kaikilla M:n alkiolla x, y ja z sekä reaaliluvuilla r ja s:

• Jokainen kolmio on tasakylkinen, eli d(x,y) = d(y,z) tai d(x,z) = d(y,z) tai d(x,y) = d(z,x).
• Jokainen annetun pallon sisäpiste on sen keskipiste, eli jos d(x,y) < r, on B(x; r) = B(y; r).
• Leikkavista palloista toinen sisältyy toiseen, eli jos B(x; r) ∩ B(y; s) on epätyhjä, on joko B(x; r) ⊆ B(y; s) tai B(y; s) ⊆ B(x; r).

Tässä pallo tarkoittaa avointa palloa

B(x; r) = { y ∈ M | d(x, y) < r } .

• Kyseistet pallot ovat sekä avoimia, että suljettuja joukkoja indusoidun topologian suhteen. Sama pätee suljetuille palloille kunhan "<" korvataan merkillä "≤".
• Avointen r-säteisten pallojen joukko ja r-säteisen suljettu pallo B muodostavat B:n osituksen ja kahden avoimen pallon etäisyys on r.

Huomaa, että ultrametrisessä avaruudessa pallolla voi olla useita keskipisteitä.

Esimerkkejä

1. Tarkastellaan mielivaltaisten pituisten sanojen joukkoa, missä aakkostona on Σ. Määritellään kahden sanan etäisyydeksi 2^-n, missä n on ensimmäinen positio, missä kirjaimet eroavat toisistaan. Saatu metriikka on ultrametriikka.
2. P-aditiset luvut muodostavat täydellisen ultrametrisen avaruuden.
3. Jos r=(r_n) on jono reaalilukuja, jotka laskevat kohti nollaa, |x|_r := lim sup_n→∞ |x_n|^r_n indusoi ultrametriikan kaikkien jonojen avaruudessa, joilla saatu lim sup on äärellinen. Tämä ei kuitenkaan ole seminormi, koska sillä saatu funktio ei ole homogeeninen — Jos r_n sallitaan olevan nolla, voidaan sopia myös, että 0⁰=0.