Paulin matriisit

Paulin matriisit ovat Wolfgang Paulin mukaisesti nimettyjä hermiittisiä ja unitaarisia $2\times 2$-matriiseja. Paulin matriiseja voidaan käyttää kuvaamaan fysikaalista suuretta, jolla on kaksi mahdollista arvoa. Pauli loikin matriisit kuvatakseen elektronin spiniä, joka siis voi saada kaksi eri arvoa: +½ tai -½.

Paulin matriisit esitetään muodossa

${\hat {\sigma }}_{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

${\hat {\sigma }}_{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$

${\hat {\sigma }}_{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},$

missä $i$ on imaginaariyksikkö. Yllä olevien matriisien avulla voidaan kirjoittaa spin muodossa ${\vec {S}}={\frac {\hbar }{2}}{\hat {\sigma }}$.

Paulin matriisien ominaisuuksia

Paulin matriiseille pätee relaatio

${\hat {\sigma }}_{x}^{2}={\hat {\sigma }}_{y}^{2}={\hat {\sigma }}_{z}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I$,

eli matriisien neliöt ovat yksikkömatriiseja.

Paulin matriisit kommutoivat seuraavasti:

$[{\hat {\sigma }}_{x},{\hat {\sigma }}_{y}]=2i{\hat {\sigma }}_{z}\,\!$

$[{\hat {\sigma }}_{y},{\hat {\sigma }}_{z}]=2i{\hat {\sigma }}_{x}\,\!$

$[{\hat {\sigma }}_{z},{\hat {\sigma }}_{x}]=2i{\hat {\sigma }}_{y}\,\!$.