Lukujono

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Lukujono tai yksinkertaisesti jono on järjestetty luettelo tietyn lukujoukon alkioista.

  • Sama luku voi toistua lukujonossa määräämättömän monta kertaa.
  • Lukujonot ovat samoja, kun niissä on samat jäsenet samassa järjestyksessä.
  • Lukujono merkitään yleensä sulkuihin, ja sen jäsenet eli termit tai alkiot erotetaan toisistaan pilkuilla.

Lukujono on äärellinen eli päättyvä, jos sen pituus on rajattu, ja se on puolestaan ääretön eli päättymätön, jos siinä ei ole viimeistä jäsentä. Esimerkiksi (1, 2, 3, 4) ja (9, 66, 102, 9, 102) ovat päättyviä, (e, e, e, e...) ja (2, 4, 6,...) päättymättömiä lukujonoja.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkemmin lukujonolla (an) tarkoitetaan kuvausta

missä on luonnollisten lukujen joukko ja mikä tahansa lukujoukko. Usein K=N, Q, R tai C.

Lukujonoa merkitään a(n) = an. Indeksoinnin ei välttämättä tarvitse alkaa nollasta, Katso esimerkiksi osajono. Lukuja a0, a1, a2,... nimitetään lukujonon jäseniksi. Jos lukujonon jäsenet ovat reaalilukuja, sanotaan, että (an) on reaalilukujono, jos taas jäsenet ovat rationaalilukuja, sanotaan, että (an) on rationaalilukujono, jne.

Jono on kasvava, jos kaikilla n pätee xnxn+1 ja aidosti kasvava, jos kaikilla n pätee xn < xn+1. Vastaavasti määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä lukujono. Lukujono on monotoninen, jos se on joko kasvava tai vähenevä.

Erikoistapauksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aritmeettinen lukujono[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aritmeettinen lukujono on sellainen lukujono, jonka peräkkäisten jäsenten erotus on vakio. Aritmeettisen lukujonon yleinen termi on .

Geometrinen lukujono[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Geometrinen lukujono on sellainen lukujono, jonka peräkkäisten jäsenten osamäärä on vakio. Jos on esimerkiksi 1,1, tarkoittaa se sitä, että lukujonon seuraava jäsen on aina 10% edellistään suurempi. Esim. .

Geometrisen lukujonon yleinen termi on .

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

1. tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, joka on määritelty analyyttisesti ja jossa ...

  • Toisin sanoen

2. tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, jossa

3. Fibonaccin luvut määritellään rekursiivisesti:

  • Täten esimerkiksi .
  • Näin saadaan lukujono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657...

4. Kun määritellään

saadaan lukujono 2, 22 = 4, 42 = 16, 162 = 256, 2562 = 65536,..., ts. a0=2, a1=4, a2=16, a3=256,...

5. Lukujono 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42,... kuvaa sitä, kuinka monella tavalla postitiiviset kokonaisluvut 1, 2, 3,... voidaan jakaa kokonaislukupartitioihin eli kokonaislukuihin, joiden summaksi tulee luku itse.[1] Esim. luvulle viisi saadaan seitsemän erilaista ryhmää: 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1 ja 1+1+1+1+1.

6. Lukujono 1, 2, 6, 19, 63, 216, 760, 2725, ...[2] kuvaa ns. kiinnitettyjen (ts. esim. peilikuvat katsotaan erillisiksi tapauksiksi) polyominojen[3] lukumäärää alkioiden lukumäärän n (1, 2, 3, ...) funktiona. Polyominoja voi tutkia myös piirtämällä ruutupaperille pisteitä viivojen risteyskohtiin siten, että mikään piste ei ole muusta kuviosta erillään. Esimerkiksi kolmen pisteen tapauksessa saadaan kuusi hahmoa:

          .       .     .
. . .     .     . .     . .     . .     . .
          .                       .     .

Lukujonon maksimi ja minimi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Riippumatta äärellisen lukujonon jäsenten määrästä äärellisellä lukujonolla on aina olemassa maksimi ja minimi eli suurin ja pienin alkio. Todistetaan väite induktiolla:

Alkuaskel[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon joukko , joten sen maksimi (ja minimi) on itsestään selvästi luku . Väite siis pätee, kun joukon alkioiden lukumäärä on yksi.

Induktio-oletus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Induktio-oletus: Oletetaan, että mielivaltaisessa joukossa on määrä alkiota eli ja että väite pätee, jolloin joukolla on olemassa maksimi eli .

Induktioaskel[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon mielivaltainen joukko, jossa on määrä alkiota. Poistetaan :stä mikä tähansa sen alkio . Nyt saadaan joukko , jossa on määrä alkiota, joten sillä on olemassa induktio-oletuksen nojalla . Täten myös joukolla on olemassa maksimi, joka on .

Näin ollen mille tahansa mielivaltaiselle äärelliselle joukolle () löydetään aina maksimi.

Vastaavalla tavalla todistetaan minimin olemassaolo.

Osajono[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun lukujonosta vähennetään nolla tai enemmän alkioita ja järjestys säilytetään, nimitetään tällaista lukujonoa osajonoksi.

Esimerkiksi

Olkoon (a1, a2, a3, a4, a5, ... ) (termejä äärettömän monta) jono a.

Tällöin jono (a2, a4, a5, ...) (termejä silti äärettömän monta) on eräs jonon a osajono.

Huomioitavaa on, että lukujono on myös itse itsensä eräs osajono.

Osajonon indeksitkin muodostavat oman jononsa (osajono voidaan tällöin esittää muodossa: ay1, ay2, ay3, ay4, ...) jota merkitään joskus esimerkiksi y = (y1, y2, y3, ...). Tällöin pätee aina: ynn.

Todistus induktiolla:

Alkuaskel: n = 1, jolloin y1 on minimissään (maksimista ei luonnollisesti tarvitse välittää) 1. Tällöin pätee 1 ≤ y1.

Induktio-oletus: nyn.

Induktio-askel: n+1 ≤ yn+1. Koska indeksit ovat luonnollisia lukuja, niin pätee yn+1 ≤ yn+1, mistä seuraa: n+1 ≤ yn+1, MOT.

Jokaisella lukujonolla on monotoninen (eli nouseva tai laskeva) osajono[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todistus:

Olkoon joukko .

1) Joukossa on ääretön määrä alkoita

, jossa siis . Tällöin pätee . Näin ollen osajono on nouseva.

2) Joukko on äärellinen

i) on tyhjä, jolloin valitaan .

ii) on epätyhjä, jolloin valitaan .

Koska , niin siten, että . Samalla tavalla osoitetaan induktiolla, että siten, että . Näin ollen osajono on aidosti laskeva.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Information on Numerical Partitions theory.cs.uvic.ca. Arkistoitu 7.10.2012. Viitattu 26.1.2013. (englanniksi)
  2. Number of fixed polyominoes with n cells. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®). Viitattu 9.6.2013. (englanniksi)
  3. Polyomino Englanninkielinen Wikipedia. Viitattu 9.6.2013. (englanniksi)

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]