Kokonaisalue

Rengasta $R$ kutsutaan kokonaisalueeksi (engl. integral domain), jos $R$ on kommutatiivinen eikä $R$:ssä ole nollantekijöitä. Monet kiinnostavat renkaat ovat kokonaisalueita, muun muassa kokonais- ja reaaliluvut sekä jäännösluokkarenkaat $\mathbb {Z} _{m}$, missä m on alkuluku. Kokonaisalueet käyttäytyvät monessa suhteessa samankaltaisesti kuin kokonaisluvut, joita voidaan pitää kokonaisalueiden perusesimerkkinä. Muun muassa n-asteisella polynomilla on korkeintaan n juurta kokonaisalueen ja kokonaisalueissa on voimassa supistamislaki $ab=ac\Rightarrow b=c$.

Karakteristika

Alkion $a$ monikerta on $na=a+a+\cdots +a$, missä yhteenlaskettavia on n kappaletta. Jos kokonaisalueen D alkion a monikerta $na$ on nolla jollakin positiivisella kokonaisluvulla n, kun a on nollasta poikkeava, niin jokaisella D:n alkiolla b tulo nb on nolla. Tämä nähdään seuraavasti: Olkoon a nollasta poikkeava kokonaisalueen D alkio ja olkoon D:n karakteristika n. Tällöin $na=a+...+a=a\cdot 1+\ldots +a\cdot 1=a\cdot (1+\ldots +1)=a\cdot (n1)$, joten jos $a\neq 0$, niin täytyy olla $n1=0$, koska kokonaisalueessa ei ole nollanjakajia. Kertomalla tämä b:llä ja kirjoittamalla lauseke vastaavalla tavalla auki päädytään yhtälöön $nb=0$.

Koska jokainen kokonaisalue on rengas, niin pienintä edellä mainitun kaltaista lukua n sanotaan kokonaisalueen karakteristikaksi ja merkitään char(D) = n. Jos tällaista lukua ei ole, merkitään char(D) = 0. Karakteristika on aina joko nolla tai alkuluku. Tämä nähdään seuraavasti: Oletetaan, että char(D) = n, $n\neq 0$. $n=n_{1}n_{2}$. Tällöin $n1=(n_{1}1)(n_{2}1)$ ja koska kokonaisalueessa ei ole nollantekijöitä, on $n_{1}1=0$ tai $n_{2}1=0$. Tarvittaessa muuttujat uudelleen nimeämällä saadaan $n_{1}1=0$. Luku n on kuitenkin karakteristikan määritelmän mukaan pienin tällaisen ehdon toteuttava luku, eli $n_{1}=n$. Siispä luvulla n ei voi olla epätriviaaleja tekijöitä.

Luokittelu eri karakteristikan mukaan on tärkeä tapa jaotella kokonaisalueita. Erityisen suuri ero on niiden kokonaisalueiden välillä, joiden karakteristika on nolla (äärettömien) ja joiden karakteristika on alkuluku. Jos kokonaisalueen D karakteristika on nolla, on D:ssä äärettömän monta alkioita. Esimerkiksi kuntalaajennukset käyttäytyvät eri lailla riippuen siitä, onko alkukunnan karakteristika ääretön vai äärellinen. Ero tulee näkyviin esimerkiksi kuntalaajennusten yhteydessä.

Äärelliset kokonaisalueet

Keskeinen äärellisiä kokonaisalueita koskeva tulos on se, että jokainen äärellinen kokonaisalue on kunta. Toisin sanoen sen jokaisella nollasta eroavalla alkiolla on käänteisalkio.

Tulos voidaan perustella seuraavasti:

Olkoon $R$ äärellinen kokonaisalue, $m$ kokonaisalueen $R$ alkioiden lukumäärä ja $a$ jokin sen nollasta eroava alkio. Olkoot $b_{1},b_{2},...,b_{m}$ kokonaisalueen R erisuuret alkiot. Tällöin myös alkiot $b_{1}a,b_{2}a,...,b_{m}a$ ovat keskenään erisuuria. Jos nimittäin olisi $b_{i}a=b_{j}a$ erisuurilla indeksien $i$ ja $j$ arvoilla, niin olisi $(b_{i}-b_{j})a=0$. Tällöin $b_{i}-b_{j}$ ja $a$ olisivat kokonaisalueen $R$ nollasta eroavia nollantekijöitä. Tämä on ristiriita. Alkiot $b_{1}a,b_{2}a,...,b_{m}a$ käyvät siis läpi kaikki kokonaisalueen $R$ alkiot. Erityisesti $b_{k}a=1$ jollakin $k=1,...,m$. Alkio $b_{k}$ on tällöin alkion $a$ käänteisalkio.