Algebrallinen luku

Algebrallinen luku tarkoittaa sellaista reaali- tai kompleksilukua $x$, joka toteuttaa algebrallisen yhtälön

$P(x)=0$.

Yhtälöä nimitetään algebralliseksi, jos siinä $P(x)$ on polynomi, jonka kertoimet ovat kokonaislukuja (tai yhtäpitävästi rationaalilukuja) ja ainakin yksi niistä on nollasta eroava. Esimerkiksi luvun $2$ neliöjuuren käänteisluku on algebrallinen, sillä se on algebrallisen yhtälön $2x^{2}-1=0$ juuri. Myös imaginaariyksikkö $i$ on algebrallinen, sillä se toteuttaa yhtälön $x^{2}+1=0$. Jokainen rationaaliluku $x=m/n$ (missä $m,n$ ovat kokonaislukuja) on myös algebrallinen luku, koska se toteuttaa yhtälön $nx-m=0$.

Algebrallisen luvun vastakohta on transkendenttiluku. Transkendenttisia ovat siis kaikki muut kompleksiluvut, ja ne eivät toteuta mitään algebrallista yhtälöä.

Vaikka algebrallisia lukuja on ääretön määrä, niin kaikkien niiden joukko, joka on lukukunta (merk. joskus: $\mathbb {A}$), on numeroituva, joukko-opillisessa mielessä häviävän pieni ylinumeroituvaan transkendenttilukujen joukkoon verrattuna. Kaikkien algebrallisten lukujen kunta on algebrallisesti suljettu, eli algebrallisin kertoimin varustetun polynomiyhtälön kaikki juuretkin ovat algebrallisia lukuja.

Jos yhtälön korkeimmanasteisen termin kerroin on $1$ (ja muut kertoimet edelleen ovat kokonaislukuja), niin sen juurena olevaa algebrallista lukua $\mu$ sanotaan algebralliseksi kokonaisluvuksi (kokonaiseksi algebralliseksi luvuksi).

Esimerkiksi luvun $3$ neliöjuuri on algebrallinen kokonaisluku (muttei rationaalinen kokonaisluku), sillä se on yhtälön $x^{2}-3=0$ juuri. Jokainen tavallinen, rationaalinen kokonaisluku $m$ on myös algebrallinen kokonaisluku, koska se on yhtälön $x-m=0$ juuri. Muttei mikään (aito) murtoluku (kuten $-1/2$ tai $3/4$) ole algebrallinen kokonaisluku eikä tietenkään rationaalinen kokonaisluku.

Jos algebrallisesta luvusta $\mu$ ja rationaaliluvuista muodostetaan kaikki mahdolliset lausekkeet käyttäen peruslaskutoimituksia, niin tuloksena saatavat luvut muodostavat erään lukukunnan, algebrallisen lukukunnan $\mathbb {Q} (\mu )$. Algebrallinen lukukunta sisältyy tai ei sisälly reaalilukujen kuntaan $\mathbb {R}$ sen mukaan, onko $\mu$ reaaliluku vai ei.

Tietyn algebrallisen lukukunnan algebrallisista kokonaisluvuista muodostuu samantapainen lukurengas kuin on tavallistenkin kokonaislukujen rengas $\mathbb {Z}$, ja siellä voidaan puhua lukujen jaollisuudestakin. Jaollisuusoppi on kuitenkin "rikkaampaa" kuin kokonaisluvuilla: luvun alkutekijöiden ei tarvitse olla yksikäsitteisiä. Jos luvulla on tietty alkutekijä $\rho$, niin voidaan toisella kertaa löytää samalle luvulle semmoiset alkutekijät, joista ei mikään olekaan $\rho$ eikä edes jaollinen $\rho$:lla. Ja jollei tilanne ole juuri näin "paha", niin samallakin alkutekijällä $\rho$ voi olla erilaisia esiintymismuotoja (liitännäislukuja) jotka kaikki ovat toinen toisellaan jaollisia. Eräs esimerkki tämmöisestä olisi kunnan $\mathbb {Q} (i)$ algebrallisten kokonaislukujen renkaan $\mathbb {Z} [i]$, ns. Gaussin kokonaislukujen renkaan, alkuluku $2+i$ ja sen yksi liitännäisluku $-1+2i$, jotka ovat toisillaan jaollisia. Gaussin kokonaisluvut ovat muotoa $m+in$, missä $m,n$ ovat rationaalisia kokonaislukuja.