Ellipsi

Ellipsi

Ellipsi (suomalaisittain yleensä soikio) on suljettu toisen asteen käyrä. Ellipsi on myös yksi kartioleikkauksista.

Matemaattinen määritelmä tehdään seuraavasti. Olkoot F1 ja F2 kaksi tason kiinteätä pistettä. Ellipsi on käyrä, jolle kuuluu jokainen tason piste X, jonka F1:stä ja F2:sta mitattujen etäisyyksien summalla PF1 + PF2 on vakioarvo. Ellipsin soikeus määräytyy siitä, kuinka paljon on PF1 + PF2 suurempi kuin pisteiden F1 ja F2 välinen etäisyys.

Pisteitä F1 ja F2 sanotaan ellipsin polttopisteiksi. Suoria, joiden suhteen ellipsi on symmetrinen, sanotaan ellipsin akseleiksi. Suoraa AB kutsutaan ellipsin isoakseliksi. Jana a on isoakselin puolikas.

Pinta-ala

Ellipsin pinta-ala $A$ saadaan kaavasta:

A = π·a·b , missä a ja b ovat ellipsin puoliakseleita

Kaavasta voidaan huomata, että erityistapauksessa, jossa puoliakselit ovat yhtä pitkiä, kuvio on ympyrä ja pinta-alan lausekkeeksi tulee π·r².

Ellipsin kehän pituutta $p$ ei voi alkeisfunktioiden avulla lausua suljetussa muodossa. Tarkka kaava

$p=4\ a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\epsilon ^{2}\sin ^{2}{t}}}\;dt,$

jossa $\epsilon$ on ellipsin eksentrisyys, sisältää toisen lajin elliptisen integraalin.

Ellipsin yhtälö

Kun ellipsin keskipiste on pisteessä (x₀,y₀), on sen yhtälö muotoa

${\frac {(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}}=1\!$ , jossa $a,b\in \mathbb {R}$.

Ellipsin yhtälö parametrimuodossa:

$\left\{{\begin{matrix}x=x_{0}+a\cos {t}\\y=y_{0}+b\sin {t}\end{matrix}}\right.$ , jossa $a,b,t,x_{0},y_{0}\in \mathbb {R}$.

Ellipsin yhtälö voidaan myös esittää muodossa

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\!$ , jossa $A,B,C,D,E,F\in \mathbb {R}$.

Kaavoissa a on x-akselin suuntaisen puoliakselin pituus ja b y-akselin suuntaisen puoliakselin pituus.

Jos a = b = r, kyseessä on ympyrä, jonka säde on r.

Katso myös

• Ympyrä
• Ellipsoidi
• Hyperbeli
• Paraabeli