Brahmaguptan kaava

Brahmaguptan kaavalla voidaan löytää geometriassa mielivaltaisen nelikulmion pinta-ala. Yleisimmässä erikoistapauksessaan sillä voidaan laskea jännenelikulmion pinta-ala.

Perusmuoto

Helpoiten muistettava muoto Brahmaguptan kaavasta antaa jännenelikulmion, jonka sivun pituudet ovat a, b, c ja d, pinta-alan:

${\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}},$

missä s on nelikulmion piirin puolikas:

$s={\frac {a+b+c+d}{2}}.$

Brahmaguptan kaavan todistus

Jännenelikulmio

Jännenelikulmion pinta-ala = Kolmion $\triangle ADB$ pinta-ala + kolmion $\triangle BDC$ pinta-ala:

$={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C$

Koska $ABCD$ on jännenelikulmio, on $\angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB.$ Siis $\sin A=\sin C,$ joten

$Ala={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A$

$(Ala)^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(pq+rs)^{2}$

$4(Ala)^{2}=(1-\cos ^{2}A)(pq+rs)^{2}\,$

$4(Ala)^{2}=(pq+rs)^{2}-cos^{2}A(pq+rs)^{2}\,$

Soveltamalla kosinilausetta kolmioihin $\triangle ADB$ ja $\triangle BDC$ saadaan

$p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C\,$

Sijoittamalla $\cos C=-\cos A$ (koska kulmat $A$ ja $C$ ovat toistensa suplementtikulmia) ja järjestelemällä termejä saadaan

$2\cos A(pq+rs)=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.$

Sijoittamalla tämä pinta-alan kaavaan saadaan

$4(Ala)2=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}$

$16(Ala)^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}\,$

joka edelleen voidaan kirjoittaa muodossa

$(2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})(2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2})\,$

$=((p+q)^{2}-(r-s)^{2})((r+s)^{2}-(p-q)^{2})\,$

$=(p+q+r-s)(p+q+s-r)(p+r+s-q)(q+r+s-p)\,$

Koska $T={\frac {p+q+r+s}{2}},$ on

$16(Ala)^{2}=16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)\,$

ja lopulta

$Ala={\sqrt {(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)}}$

Brahmaguptan kaava yleisessä nelikulmiossa

Yleisen nelikulmion pinta-alan laskemisessa tarvitaan sivujen pituuksien lisäksi tietää nelikulmion vastakkaisten kulmien summa:

${\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}$

missa $\theta$ on puolet vastakkaisten kulmien summasta. Koska jännenelikulmion vastakkaisten kulmien summa on $180^{\circ }$, voidaan yleistä kaavaa käyttää jännenelikulmion pinta-alan laskemiseen.

Erikoistapaus

Brahmaguptan kaavan erikoistapauksena saadaan Heronin kaava.

Aiheesta muualla

• MathWorld: Brahmagupta's formula