Ero sivun ”Hermiittinen matriisi” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Suomennetun artikkelin selvennystä ja korjauksia (vrt en wiki) |
pieniä lisäkorjauksia |
||
Rivi 19: | Rivi 19: | ||
*Hermiittisen matriisin [[ominaisarvo]]t ovat reaalisia. |
*Hermiittisen matriisin [[ominaisarvo]]t ovat reaalisia. |
||
*Eri |
*Eri suuruisiin ominaisarvoihin liittyvät [[ominaisvektori]]t ovat toisiinsa nähden [[ortogonaalinen matriisi|ortogonaalisia]]. |
||
On siis mahdollistä löytää <math>\mathbb{C}^n</math>:n [[kanta|ortonormaali kanta]], joka koostuu yksinomaan hermiittisen matriisin ominaisvektoreista. |
On siis mahdollistä löytää <math>\mathbb{C}^n</math>:n [[kanta|ortonormaali kanta]], joka koostuu yksinomaan hermiittisen matriisin ominaisvektoreista. |
||
Kahden hermiittisen matriisin summa on hermiittinen matriisi ja [[kääntyvä matriisi]] |
Kahden hermiittisen matriisin summa on hermiittinen matriisi ja [[kääntyvä matriisi|kääntyvän]] hermiittisen matriisin käänteismatriisi on hermiittinen. Hermiittisten matriisien ''A'' ja ''B'' tulo on hermiittinen vain, jos matriisit [[vaihdannaisuus|kommutoivat]], eli <math>AB = BA\,</math>. |
||
Hermiittiset ''n''×''n'' matriisit muodostavat [[vektoriavaruus|vektoriavaruuden]] [[reaaliluku]]jen suhteen, mutta eivät [[kompleksiluku]]jen suhteen. Tämän vektoriavaruuden [[dimensio]] on ''n''<sup>2</sup>. (Yksi [[vapausaste]] päälävistäjän alkiota kohti ja kaksi vapausastetta lävistäjän yläpuolella olevaa alkiota kohti.) Jos hermiittisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat positiivisia, matriisia kutsutaan [[Positiivisesti definiitti matriisi|positiivisesti definiitiksi]]. Jos taas kaikki ovat epänegatiivisia, |
Hermiittiset ''n''×''n'' matriisit muodostavat [[vektoriavaruus|vektoriavaruuden]] [[reaaliluku]]jen suhteen, mutta eivät [[kompleksiluku]]jen suhteen. Tämän vektoriavaruuden [[dimensio]] on ''n''<sup>2</sup>. (Yksi [[vapausaste]] päälävistäjän alkiota kohti ja kaksi vapausastetta lävistäjän yläpuolella olevaa alkiota kohti.) Jos hermiittisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat positiivisia, matriisia kutsutaan [[Positiivisesti definiitti matriisi|positiivisesti definiitiksi]]. Jos taas kaikki ovat epänegatiivisia, matriisi on [[positiivisesti semidefiniitti matriisi|positiivisesti semidefiniitti]]. |
||
[[Luokka:Lineaarialgebra]] |
[[Luokka:Lineaarialgebra]] |
Versio 12. lokakuuta 2010 kello 21.36
Hermiittinen matriisi on neliömatriisi, jonka alkiot ovat kompleksilukuja ja joka on itsensä adjungoitu matriisi. Toisin sanoen rivillä i ja sarakkeella j oleva alkio on rivillä j ja sarakkeella i olevan alkion kompleksikonjugaatti:
Voidaan myös merkitä:
- ,
tai kuten on tavallisempaa fysiikassa
Esimerkiksi
on hermiittinen matriisi.
Jokaisen hermiittisen matriisin päädiagonaalin alkiot ovat aina reaalilukuja. Matriisi, jonka kaikki alkiot ovat reaalilukuja, on hermiittinen vain, jos se on symmetrinen matriisi, eli jos se on symmetrinen päädiagonaalin suhteen. Reaalinen symmetrinen matriisi on täten erikoistapaus hermiittisestä matriisista.
Jokainen hermiittinen matriisi on normaali, joten siihen voidaan soveltaa spektraalilausetta. Sen mukaan jokainen hermiittinen matriisi voidaan diagonalisoida unitaarisen matriisin avulla ja syntyneen diagonaalimatriisin alkiot ovat reaalilukuja. Tästä seuraa kaksi keskeistä tulosta:
- Hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia.
- Eri suuruisiin ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat toisiinsa nähden ortogonaalisia.
On siis mahdollistä löytää :n ortonormaali kanta, joka koostuu yksinomaan hermiittisen matriisin ominaisvektoreista.
Kahden hermiittisen matriisin summa on hermiittinen matriisi ja kääntyvän hermiittisen matriisin käänteismatriisi on hermiittinen. Hermiittisten matriisien A ja B tulo on hermiittinen vain, jos matriisit kommutoivat, eli .
Hermiittiset n×n matriisit muodostavat vektoriavaruuden reaalilukujen suhteen, mutta eivät kompleksilukujen suhteen. Tämän vektoriavaruuden dimensio on n2. (Yksi vapausaste päälävistäjän alkiota kohti ja kaksi vapausastetta lävistäjän yläpuolella olevaa alkiota kohti.) Jos hermiittisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat positiivisia, matriisia kutsutaan positiivisesti definiitiksi. Jos taas kaikki ovat epänegatiivisia, matriisi on positiivisesti semidefiniitti.