Aaltoyhtälö

Aaltoyhtälö on differentiaaliyhtälö, joka kuvaa väliaineessa etenevää harmonista aaltoa. Yhtälö saa eri muotoja riippuen siitä, kuinka aaltoa välitetään ja mikä on väliaineena.

Kaikki aallot eivät ole sinimuotoisia eli sinusoidisia. Yksi esimerkki epäsinusoidisesta aallosta on pulssi, joka kulkee x-akselin suuntaan osoittavaa narua pitkin nopeudella c. Pulssin korkeus maasta on φ. Matka, jonka pulssi kulkee ajanhetken t ja ajanhetken 0 välillä on ct.

Yksiulotteisena tämä yhtälö saa muodon:

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}.$

Yleinen ratkaisu d'Alembertin antamana on

$\phi (x,t)=F(x-ct)+E(x+ct).$

F ja E voidaan ajatella kahdeksi pulssiksi, jotka etenevät alas narua, toinen +x ja toinen -x suuntaan. Jos korvaamme ylemmässä yhtälössä x:n tilalle suunnat x, y, z, saamme kolmessa ulottuvuudessa etenevän yhtälön.

Epälineaarinen aaltoyhtälö voi aiheuttaa massan liikettä.

Schrödingerin yhtälö kuvaa hiukkasen aaltomaista käyttäytymistä kvanttimekaniikassa. Ratkaisuja tähän yhtälöön ovat aaltofunktiot, joilla voidaan kuvata hiukkasen todennäköisyysjakaumaa.