Ero sivun ”Hamiltonin mekaniikka” versioiden välillä

Siirry navigaatioon Siirry hakuun
123 merkkiä lisätty ,  12 vuotta sitten
kielenhuoltoa ja linkkejä
(kielenhuoltoa ja linkkejä)
'''Hamiltonin mekaniikka''' on irlantilaisen [[William Rowan Hamilton]]in vuonna [[1833]] esittämä lähestymistapa [[klassinen mekaniikka|klassiseen mekaniikkaan]]. Se muistuttaa jonkin verran [[Lagrangen mekaniikka]]a ja useimmissa oppikirjoissa Hamiltonin mekaniikan käsittelyyn siirrytäänkin Lagrangen mekaniikan tulosten kautta. Hamiltonin mekaniikka voidaan kuitenkin johtaa myös kokonaan Lagrangen mekaniikasta riippumatta, [[symplektinen monisto|symplektisten monistojen]] teorian pohjalta. Tämän vuoksi se muodostaa aidosti erilaisen lähestymistavan.
 
Hamiltonin mekaniikka on nykyisin mekaniikan perusformalismi käytännössä kaikessa mekaniikkaan liittyvässä tutkimuksessa. Aivan erityisen tehokkaaksi työkaluksi se on osoittautunut [[kvanttimekaniikka|kvanttimekaniikassa]], jonka matemaattinen kuvaus perustuu käytännössä kokonaan Hamiltonin mekaniikkaan ja [[Hamiltonin operaattori|Hamiltonin operaattoreihin]].
 
== Hamiltonin yhtälöt ==
:<math>p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}</math>.
 
Kannattaa huomata, että suoraviivaisen liikkeen tapauksessa <math>\dot{q}</math>:t ovat nopeuksia ja konjugoitu impulssi vastaa täsmälleen kappaleen [[liikemäärä]]ä. Pyörimisliikkeen[[Pyörimisliike|Pyörimis­liikkeen]] tapauksessa <math>\dot{q}</math>:t ovat kulmanopeuksia ja konjugoidun impulssin määritelmä vastaa kappaleen [[pyörimismäärä]]ä. Konjugoitu impulssi on siis eräänlainen liikemäärän yleistys.
 
Määritellään nyt uusi funktio
Kaksi ensimmäistä yhtälöä ovat systeemin '''Hamiltonin yhtälöt''' eli '''kanoniset yhtälöt'''. Ne muodostavat jokaista systeemiin kuuluvaa kappaletta kohti 2N ensimmäisen kertaluvun [[differentiaaliyhtälö]]n ryhmää. Tämä ei kuitenkaan yleensä haittaa, sillä 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen on ryhmänäkin huomattavasti helpompaa kuin korkeamman kertaluvun yhtälöt, joiden ratkaisemiseen [[Newtonin mekaniikka|Newtonin]] ja Lagrangen lähestymistavat johtavat. Lisäksi osoittautuu, että Hamiltonin yhtälöiden muoto on matemaattiselta kannalta aivan erityisen oivallinen, sillä yhtälöillä on syvällinen yhteys fysikaalisen systeemin toimintaan.
 
Viimeinen yhtälö ei ole varsinainen liikeyhtälö, mutta se osoittaa, että <math>H</math> riippuu ajasta vain ja ainoastaan silloin, jos aika esiintyy Hamiltonin funktiossa eksplisiittisesti. Toisin sanoen Hamiltonin funktio on (niitäsäilyvä suure muutoin paitsi niissä hyvin epätavallisiaepä­tavallisissa poikkeuksiapoikkeus­tapauksissa, joissa aika esiintyy, lukuun ottamatta) säilyvä suurefunktiossa. Voidaankin osoittaa, että Hamiltonin funktio vastaa systeemin kokonaisenergiaa.
 
 
== Esimerkki: yksiulotteinen oskillaattori ==
Tarkastellaan kappaletta, jonka [[kineettinen energia]] on
:<math>T = \frac{1}{2}m \dot{x}^2</math>
ja johon kohdistuu [[potentiaalienergia]]
:<math>V = \frac{1}{2}cx^2</math>,
missä <math>m</math> on kappaleen massa ja <math>c</math> vakio. Systeemiä kuvaava Lagrangen funktio on (ks. artikkeli [[Lagrangen mekaniikka]])
:<math>L = T - V = \frac{1}{2}m \dot{x}^2 - \frac{1}{2}cx^2</math>
ja koordinaattia <math>x</math> vastaava yleistetty impulssi saadaan [[derivaatta|derivoimalla]] <math>\dot{x}</math>:n suhteen:
:<math>p = m \dot{x}</math> (huomaa, että tämä on täsmälleen kappaleen liikemäärä).
Hamiltonin funktion kirjoittamista varten täytyy ratkaista tästä <math>\dot{x}</math> impulssin <math>p</math> avulla, jolloin saadaan <math>\dot{x} = p/m</math> ja sijoitetaan
108 722

muokkausta

Navigointivalikko