Funktionaalianalyysi

Funktionaalianalyysi on matematiikan, erityisesti matemaattisen analyysin, osa-alue, joka tutkii funktioavaruuksia. Funktionaalianalyysi sai alkunsa erilaisten muunnosten, kuten Fourier'n muunnoksen, tutkimisesta sekä differentiaali- ja integraaliyhtälöiden ratkaisujen tutkimisesta. Termi funktionaali on peräisin variaatiolaskennasta, ja tarkoittaa funktiota, joka saa argumenttinaan toisia funktioita. Käsitettä käytti ensimmäisinä laajemmalti Vito Volterra ja Stefan Banach.

Normitetut vektoriavaruudet

Nykyään funktionaalianalyysi tutkii täydellisiä reaalisia tai kompleksisia normiavaruuksia. Tällaisia avaruuksia kutsutaan Banachin avaruuksiksi. Tunnetuin esimerkki Banachin avaruuksista on Hilbertin avaruudet, joissa sisätulo määrittää avaruuteen normin. Nämä avaruudet ovat erityisesti käytössä kvanttimekaniikassa. Yleisemmin funktionaalianalyysi tutkii myös Fréchet'n avaruuksia ja muita topologisia vektoriavaruuksia.

Tärkeä funktionaalianalyysin tutkimuksen kohde on Banachin ja Hilbertin avaruuksien jatkuvat lineaarimuunnokset. Nämä johtavat luonnollisella tavalla C*-algebran ja muiden operaattorialgebroiden käsitteisiin.

Hilbertin avaruudet

Hilbertin avaruudet voidaan luokitella täydellisesti. Jokaista kardinaalilukua kohti on olemassa isomorfiaa vaille yksikäsitteinen Hilbertin avaruus. Koska äärellisulotteiset Hilbertin avaruudet tunnetaan lineaarialgebrasta ja koska Hilbertin avaruuksien väliset morfismit voidaan aina jakaa Alef-nolla (ℵ₀)-dimensioisiin osiin, funktionaalianalyysi Hilbertin avaruuksissa tutkii lähinnä Aleph-nolla-ulotteista Hilbertin avaruutta ja sen morfismeja. Yksi funktionaalianalyysin avoimia ongelmia on todistaa, että jokaisella Hilbertin avaruuden operaattorilla on aito aliavaruus, joka on invariantti. Monille erikoistapauksille tunnetaan jo ratkaisu.

Banachin avaruudet

Yleisesti Banachin avaruudet ovat Hilbertin avaruuksia monimutkaisempia. Ei ole olemassa esimerkiksi selvää määritelmää sille, mitkä funktionaalit muodostavat Banachin avaruuden kannan.

Jokaista reaalilukua p≥ 1 kohti pitää paikkansa, että niiden Lebesgue-mitallisten funktioiden avaruus, joiden itseisarvon p:nnellä potenssilla on äärellinen integraali, on Banachin avaruus.

Banachin avaruuksien yhteydessä tutkitaan usein myös avaruuden duaalia eli kaikkien jatkuvien funktionaalien avaruutta. Duaalin duaali ei ole aina isomorfinen alkuperäisen avaruuden kanssa, mutta on olemassa luonnollinen monomorfismi avaruudelta duaalilleen.

Derivaatan käsite voidaan yleistää Banachin avaruuksissa kaikille funktioille. Osoittautuu, että funktion derivaatta tietyssä pisteessä on todella jatkuva lineaarikuvaus.