Ero sivun ”Matemaattinen induktio” versioiden välillä
Siirry navigaatioon
Siirry hakuun
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa |
p Botti muokkasi: sv:Matematisk induktion |
||
Rivi 81: | Rivi 81: | ||
[[sl:Matematična indukcija]] |
[[sl:Matematična indukcija]] |
||
[[sr:Математичка индукција]] |
[[sr:Математичка индукција]] |
||
[[sv: |
[[sv:Matematisk induktion]] |
||
[[tr:Matematiksel tümevarım]] |
[[tr:Matematiksel tümevarım]] |
||
[[uk:Математична індукція]] |
[[uk:Математична індукція]] |
Versio 16. joulukuuta 2009 kello 01.33
Matemaattinen induktio on matemaattinen todistusmenetelmä, joka kuuluu matemaattisen algebran päähaaraan.
Matemaattinen induktio perustuu induktioperiaatteeseen, jolla todistetaan luonnollista lukua koskeva väite todeksi kaikilla :n arvoilla. Teknisesti induktiotodistus koostuu kolmesta vaiheesta:
- Perusaskel
- Osoitetaan esimerkin kautta, että on tosi
- Induktioaskel
- Induktio-oletus: oletetaan, että on tosi arvolla
- Induktioväite: väitetään, että tosi arvolla
- Todistus: todistetaan, että induktio-oletuksesta seuraa induktioväite
- Johtopäätös
- Induktioaskeleessa todistettiin, että on tosi aina seuraavalla :n arvolla. Koska on tosi, niin myös on tosi kaikilla :n luonnollisilla arvoilla.
Esimerkki
Todistetaan oikeaksi kaava .
- Perusaskel:
- Näytetään, että P(0) pätee:
- Induktioaskel:
- Induktio-oletus: P(n) on tosi. (Varmaksi tiedetään jo siis P(0) paikkansapitävyys).
- Induktioväite: P(n + 1) on tosi. Toisin sanoen
- .
- Induktio-oletuksen nojalla voidaan tehdä sijoitus , jolla yhtälön vasen puoli saadaan muotoon
- .
- Jos tämä voidaan esittää muodossa , on induktiotodistus saatettu loppuun.
Tästä siis seuraa, että kaava pätee arvolla n + 1. Kaavan todettiin alussa pitävän paikkansa, kun n = 0. Näiden kahden seurauksena kaava pitää paikkansa myös arvoilla .