Suljettu joukko

Olkoon $(X,{\mathcal {T}})$ topologinen avaruus. Osajoukkoa $E\subset X$ kutsutaan suljetuksi joukoksi jos ja vain jos sen komplementti $\complement E\in {\mathcal {T}}$. Toisin sanoen joukko on suljettu jos ja vain jos sen komplementti on avoin (topologiassa ${\mathcal {T}}$).

Voidaan osoittaa, että jokainen suljettujen joukkojen leikkaus on suljettu. Myös jokainen suljettujen joukkojen äärellinen yhdiste eli unioni on suljettu. Tyhjä joukko on samanaikaisesti sekä suljettu että avoin, koska se toteuttaa molempien määritelmät.

Mikäli määräämme reaaliakselille $\mathbb {R}$ itseisarvon virittämät avoimet joukot, niin erityisesti $\mathbb {R}$:n avoimet välit ovat nyt avoimia joukkoja. Tästä seuraa, että esimerkiksi suljetut välit $[a,b]$ ovat suljettuja joukkoja, sillä niiden komplementti saadaan avoimien välien $]-\infty ,a[$ ja $]b,\infty [$ yhdisteenä, joka on topologian määritelmän mukaan avoin joukko.